概率分布

概率分布

probability distribution

概率论的基本概念之一。用以表述随机变量取值的概率规律。描述不同类型的随机变量有不同的概率分布形式。

离散型随机变量的分布列 只取有限个或可列个实数值的随机变量称为离散型随机变量。例如，100件产品中有10件次品，从中随意抽取5件，则其中的次品数X就是一个只取0，1，2，3，4，5的离散型随机变量。描述离散型随机变量的概率分布使用分布列，即给出离散型随机变量的全部取值，及取每个值的概率。例如上面例子中次品数X的分布列为：其中，表示从n个不同事物中取m个的组合数：

表：概率分布

第一行写出随机变量X的取值，第二行列出取相应值的概率。这就是X的分布列。常见的离散型随机变量的分布有单点分布、两点分布、二项分布、几何分布、负二项分布、超几何分布、泊松分布等。

分布函数 取值充满整个实数轴的随机变量，就不可能用分布列来表述它取值的概率规律，一般可统一用分布函数来表述。分布函数是定义在实数轴上而取值为大于等于0且小于等于1的实数，对于实轴上任何一点x，随机变量X的分布函数F（x）在x点的值为随机变量X小于x这个事件发生的概率。分布函数是单调非降的右连续函数，在负无穷大时为0，在正无穷大时为1。

连续型随机变量的密度函数 如果存在一非负实函数P（x），使随机变量X的分布函数F（x）可以表成P（x)在－∞到x上的积分，则称X为连续型随机变量，P（x)称为X的密度函数。连续型随机变量取任何一个实数值的概率等于0。常见的连续型随机变量的分布有：均匀分布，正态分布、柯西分布、对数正态分布、指数分布、伽玛（Γ）分布、贝塔（Β）分布、x2分布、学生分布、F分布等等。把分布函数的概念推广到随机向量的情形，得到联合分布函数、边缘分布函数、联合分布列、边缘分布列、联合密度函数和边缘密度函数等概念。

特征函数 傅里叶变换是数学分布中非常重要而有用的工具，将它应用于概率论，对分布函数作傅里叶-斯蒂尔杰斯变换，就得到特征函数。特征函数与分布函数相互唯一决定，因而可以把求分布函数的问题转化为求特征函数的问题。

概率分布用来描述随机变量一系列的可能值及其对应概率的统计术语。

概率分布来量化风险和预期回报之间的权衡。