一元三次方程

定义

在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是3次的整式方程叫做一元三次方程。

一元三次方程是型如ax^3+bx^2+cx+d=0的标准型

其解法如下

将上面的方程化为x^3+bx^2+cx+d=0,

设x=y-b/3,则方程又变为y^3+(c-b^2/3)y+(2b^3/27-bc/3+d)=0

设p=c-b^2/3,q=2b^3/27-bc/3+d,方程为y^3+py+q=0

再设 y=u+v

{

p=—3uv

则（u^3+v^3)+3uv(u+v)+p(u+v)+q=0 => u^3+v^3+q=0

所以q+u^3-(p/(3u))^3=0,即（u^3)^2+qu^3-(p/3)^3=0

设u^3=t,则t^2+qt-(p/3)^3=0

解得t=(-q±(q^2+4(p/3)^3)^0.5)/2

所以u=((-q±(q^2+4(p/3)^3)^0.5)/2)^(1/3),

所以v=—p/(3u)=(-p/3)/((-q±(q^2+4(p/3)^3)^0.5)/2)^(1/3)

所以y1=u+v

=((-q±(q^2+4(p/3)^3)^0.5)/2)^(1/3)+(-p/3)/((-q±(q^2+4(p/3)^3)^0.5)/2)^(1/3)

这是一个根，现求另两根：

将y1代入方程得

y^3+py+q=(y-y1)*f(x)

f(x)用待定系数法求，即设

y^3+py+q

=(y-y1)（y^2+k1y+k2)

=y^3+(k1-y1)y^2+(k2-k1y1)y-k2y1

所以k1=y1,k2=p+k1^2

f(x)=y^2+y1*y+p+y1^2

然后用求根公式解出另两根y2,y3.