李代数
李代数简介李代数（Lie algebra）
一类重要的非结合代数。非结合代数是环论的一个分支，与结合代数有着密切联系。结合代数的定义中把乘法结合律删去，就是非结合代数。
李代数是挪威数学家S．李（数学家李）在19世纪后期研究连续变换群时引进的一个数学概念，它与李群的研究密切相关。在更早些时候，它曾以含蓄的形式出现在力学中，其先决条件是“无穷小变换”概念，这至少可追溯到微积分的发端时代。可用李代数语言表述的最早事实之一是关于哈密顿方程的积分问题。S．李是从探讨具有r个参数的有限单群的结构开始的，并发现李代数的四种主要类型。法国数学家É．嘉当在1894年的论文中给出变数和参变数在复数域中的全部单李代数的一个完全分类。他和德国数学家基灵都发现，全部单李代数分成4个类型和5个例外代数，É．嘉当还构造出这些例外代数。É．嘉当和德国数学家外尔还用表示论来研究李代数，后者得到一个关键性的结果。“李代数”这个术语是1934年由外尔引进的。随着时间的推移，李代数在数学以及古典力学和量子力学中的地位不断上升。到20世纪80年代，李代数不再仅仅被理解为群论问题线性化的工具，它还是有限群理论及线性代数中许多重要问题的来源。李代数的理论不断得到完善和发展，其理论与方法已渗透到数学和理论物理的许多领域。
李代数定义假设 L 是域 F 上的向量空间. 如果 L上有一个运算
L×L→L, (x,y)→[x,y]
满足以下三个条件，则称 V 是一个李代数。
（1） 这个运算是双线性的，即 [ax+by,cz+dw]=ac[x,z]+cb[y,z]+ad[x,w]+bd[y,w],
(2) [x,x]=0
(3)[x,[y,z]]=[[x,y],z]+[y,[x,z]]
由条件 （2) 可知李代数运算满足反对称性 [x,y]=-[y,x].
条件 （3）称为雅克比等式。
我们也可以把[x,]看成一个导子，即满足莱布尼兹法则的导算子。因此将此导子记为ad x.
李代数的例子设 L 是李代数。 L的子集合如果关于运算 [,] 封闭，那么就成为子李代数。
L 的理想I 是一个子空间, 满足 ： 对任何x∈L, y∈I都有[x,y]∈I. 它是 L 的子李代数。
L的中心Z(L)={z∈L | [x,z]=0, 对所有 x∈L}. 它也是一个子李代数。
集合[L,L]称为导出代数， 是由所有[x,y]线性组合构成的集合。它是L的理想。
最简单的李代数例子是三维向量空间带有 外积（叉乘）运算。
在微分流形上每一点处的切空间有李运算 [X,Y]=XY-YX. 因此构成李代数.