最速降线问题
意大利科学家伽利略在1630年提出一个分析学的基本问题──“一个质点在重力作用下，从一个给定点到不在它垂直下方的另一点，如果不计摩擦力，问沿着什么曲线滑下所需时间最短。”。他说这曲线是圆，可是这是一个错误的答案。
瑞士数学家约翰．伯努利在1696年再提出这个最速降线的问题（problem of brachistochrone），征求解答。次年已有多位数学家得到正确答案，其中包括牛顿、莱布尼兹、洛必达和伯努利家族的成员。这问题的正确答案是连接两个点上凹的唯一一段旋轮线。
旋轮线与1673年荷兰科学家惠更斯讨论的摆线相同。因为钟表摆锤作一次完全摆动所用的时间相等，所以摆线（旋轮线）又称等时曲线。
数学家十分关注最速降线问题，大数学家欧拉也在1726年开始发表有关的论著，在1744年最先给了这类问题的普遍解法，并产生了变分法这一新数学分支。
证明：
设O,A是高度
不同，且不在同一铅垂线上的两定点，y
如果不计摩擦和空气阻力，一质点m
在重力作用下从O点沿一曲线降落至 。A(p,q)A点，问曲线呈何种形状时，质点降y
落的时间最短。
图 7-1 设曲线为y=y(x) ，坐标如图 7
1，质点由O点开始运动，它的速度v与它的纵坐标有关系
v=2gy
式中，g是重力加速度。
在曲线上点 (x,y) 处，质点的运动速度为
ds1+y′dx
v==
dtdt式中，s表示曲线的弧长，t表示时间，于是
′ 2
1+y1+y′
dt=dx=dx
v2gy
由于点O,A的横坐标分别是 0,p，则质点m从O点运动到A点所需时间为
t=J(y)=∫ 2gydx（7.1.4）
这样，质点由O点运动到A点所需时间t是y(x)的函数，最速降线问题就是满足边界条件
y(0)= 0,y(p) =q
的所有连续函数y(x)中，求出一个函数y使泛函式（7.1.4）取最小值。
对泛函求极值的问题称为变分问题，使泛函取极值的函数称为变分问题的解，也称为极值函数。
在微分学中，求函数y=y(x) 的极值是求自变量x的值，当x取这些值时，y取极 大（小）值、取极值的必要条件是x=x= 0 。下面我们仿照函数微分的概念来定义泛
0
dx
函的变分概念，进而导出泛函极值存在的必要条件。设y,y0 是集合C的元素，称δy=y−y0 为函数y在y0处的变分。
这里的δy是x的函数，它与 ∆y的区别在于：变分 δy反映的是整个函数的改变，
而 ∆y表示的是同一个函数y(x)因x的不同值而产生的差异。在本书，我们总是假定y(x)和F(x,y,y′) 都是充分光滑的，且y(x)在两个端点处固定，即y(a) =y1,y(b) =y2 （7.1.5）
式中，y1,y是两个常数。
2
下面我们考虑泛函
J[y(x)]=∫F(x,y,y′)dx（7.1.6）当函数y(x)有微小改变且变为y(x) +δy(x) 时，利用 ∂F∂F
F(x,y+δy,y′+δy′) =F(x,y,y′) +δy+δy′
∂y∂y′
上式可推出
∂F∂F
J(y+∆y) −J(y) = [ δy+δy′]dx
∂y∂y′ 上式称为J(y)的变分，记为δJ(y)，即
δJ(y) =∫[∂yδy+ ∂y′δy′]dx（7.1.7）
下面我们证明，泛函J(y)取极值的必要条件是
δJ(y) = 0 （7.1.8）或者
− = 0 （7.1.9）
∂ydx∂y′
⎝⎠
设y=y(x) 使泛函J(y)取极值，取函数y(x)变分的特殊形式为
δy(x) = εϕ(x)
式中， ε是任意小的实数；ϕ(x)是充分光滑的任意函数，并且满足条件
ϕ(a) = 0, ϕ(b) = 0
这样，函数
y(x) +εϕ(x) 满足边界条件式（7.1.5）。因此，泛函J[y(x) +εϕ(x)]
当 ε= 0时取最小值J[y(x)] ，从而有d
J[y(x) + εϕ(x)] = 0
ε=0
dε
由于
∂F∂F
J[y(x) + εϕ(x)] =J[y(x)] +∫[ εϕ(x) + εϕ′(x)]dx
∂y∂y′
则有
∫[∂yεϕ(x) + ∂y′ εϕ′(x)]dx= 0 （7.1.10）
以 ε乘式（7.1.10），且 δy(x) =εϕ(x)
则有
∂F∂F
δJ(y) =∫[ εϕ(x) + εϕ′(x)]dx
∂y∂y′ ∂F∂F
= [ δy+δy′]dy= 0
∂y∂y′
应用分部积分，我们作进一步的分析，有
∂F∂F
0 = [ ϕ(x) + ϕ′(x)]dx
∂y∂y′ ∂F∂F
=∫ ϕ′(x)dx
∂y∂y′ ∂F∂F
d⎛∂F⎞
=ϕ(x)dx
∫y′
∂y∂y
dx∂
⎝⎠ ∂Fd⎛∂F⎞
= [ −]ϕ(x)dx
∂ydx∂y′
⎝⎠
由ϕ(x)的任意性，可得
∂Fd⎛∂F⎞
∂y−dx⎝ ∂y′⎠ = 0 （7.1.11）
式（7.1.11）称为欧拉－拉格朗日方程，简记为 E-L方程，这就是泛函J[y(x)] 有极限
的必要条件，也就是说，y=y(x) 使泛函式（7.1.6）取极小值，则y=y(x) 一定使欧
拉－拉格朗日方程式（7.1.11）满足边界条件式（7.1.5）的解。
我们把满足 E-L方程边值问题的解称为驻留函数，对应的积分曲线称为驻留曲线。严格地讲，E-L方程边值问题的解满足变分问题的必要条件，因此它是否是极值函数，还需作进一步的判别。在实际问题中，极值的存在性通常给出问题时已经肯定了，这样，当一个实际现象已知其有唯一的极值存在，而这时也只得到一个驻留函数，则可以判定这个驻留函数就是极值函数。
下面我们来解决本章开始部分的两个例题。
例 1 最短距离问题
解J[y(x)]=∫1+y′dx
因为F=1−y′，所以
∂F∂Fy′
= 0, =
∂y∂y′ 1+ y′E-L方程为
∂Fd⎛∂F⎞
−= 0
∂ydx⎝∂y′⎠
则有
∂F
=C1
∂y′ 这里C1是积分常数，即y′
=C11+y′
解得
C1
y′= =a1−C1所以y=ax+b由y(x0) =y0,y(x1) =y1 ，可得
y−y
y=(x−x1) +y1x2 −x1
例2捷线问题
解J[y(x)]=∫ 2gydx
且y(0)= 0,y(p) =q
这样
′F(x,y,y') =F(y,y') =
2gy（7.1.12）
其 E-L方程为
∂Fd⎛∂F⎞
−= 0
∂ydx⎝∂y′⎠
由于
dF
′
[F(y,y′) −y]
dx∂y′∂F∂FFd⎛∂F⎞
=y′+y′′ −y−y′ − = 0
∂y∂y′∂y′ dx∂y′
⎝⎠
所以有
F(y,y′) − ∂y′=C（7.1.13）
将（7.1.2）代入式（7.1.13） 1+y′y'
−y' =C2gy1+y'
1
=C2gy1+y'
由此得
1
y(1+y′) = 2gC2 = 2r（7.1.14）
引入变量代换x=x(θ) ，并设
θ
y′=cot
2 则由式（7.1.14）可得
θ
y= 2rsin=r(1− cosθ)
2
上式对θ求导，得
dx
y′=rsinθ
dθ
即
θdx
cot =rsinθ
2dθdx2 θ
= 2rsin=r(1− cosθ )
dθ2
所以
x=r(θ− sinθ ) +x0
根据曲线过原点 (0,0)及 (p,q) 可求出x0 = 0 及r，这样，所求曲线为
⎧x=r(θ− sinθ )
⎨
⎩y=r(1− cosθ )
是旋轮线的一段。