无穷大
无穷大的定义无穷大就是在自变量的某个变化过程中绝对值无限增大的变量或函数。
例如，f(x)=1/x，是当x→0时的无穷大，记作lim(1/x)=∞(x→0)。
无穷大与无穷小具有倒数关系，即当x→a是f(x)为无穷大，则1/f(x)为无穷小。
无穷大为数学符号，是一种变量，记作∞。
无穷大的3个分类无穷大分为正无穷大、负无穷大和无穷大（可正可负），分别记作+∞、-∞以及∞ ，非常广泛的应用于数学当中。
三角函数中的无穷大cot 0=∞
tan π/2=∞
cot π=∞
cot 2π=∞等等
其中单位为弧度
无穷级数中的无穷大1+1/2+1/3+1/4+1/5+……=∞
尽管每一项都比前一项小
还有令人印象深刻的：
1+1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+……+1/素数+……=∞
尽管我们不知道“下一个”素数是多少
无穷大数的比较现在有一个近乎可笑的问题：在下刚才所提到的两个无穷大数，哪一个更大些？
也许您会笑：这还能比吗？数都数不清，如何比较？
但是，且慢下这样的结论啊，还是让我们来比较一番好了。
比较的方法很简单：如果我们不能数数，怎么比较一堆东西和另一堆东西的多少？
很自然的，我们会从第一堆中拿一个，和第二堆中的一个放在一起；然后重复上面的动作，如果第一堆的东西先没了，那就是第二堆多；如果是第二堆东西先没了，那就是第一堆多。
无穷大数的比较就是用这种办法比较的，比如：要比较整数和偶数哪个多，我们就会列出下面的对应关系
……
1——2
2——4
3——6
……
这样下去，所有的整数就和所有的偶数一一对应上了，这意味着所有的整数和所有的偶数一样多！
那所有的分数（即有理数）与整数的关系又如何呢？您可以照这样的法则写下所有的分数：先写下分子分母之和为2的分数：1/1；接着是分子分母之和为3的：1/2，2/1；然后是分子分母之和为4的：1/3，2/2，3/1；……这样一直写下去，最后把整数数列写在旁边就可以了。如此一来，我们就很容易地建立了分数与整数的一一对应关系，当然它们的个数也是相等的。
这有点骇人听闻，但是，我们是在研究无穷大数，自然有些不寻常。
可是，这是不是意味着所有的无穷大数都相等呢？
不是，比如说：“所有整数的个数”与“一条直线上所有几何点的个数”那个多？
我们知道，一条线上所有的点是由实数构成的，包括有理数和无理数。但是，我们不可能像刚才写下所有的有理数那样，写下所有的无理数，因此，实数与整数间的一一对应关系就建立不起来了。我们只能将有理数和整数一一配对，剩下的是无理数，所以，“一条线上所有几何点的个数”比“所有整数的个数”要多。
通过这种对无穷大数的分析，还能得到一个更加令人惊异的结论：平面上所有的点数和线段上所有的点数相等。为了证明这一点，我们来考虑一条长1寸的线段AB上的点数和边长1寸的正方形CDEF上的点数（图7）。
假定线段上某点的位置是0.7512036......。我们可以把这个数按奇分位和偶分位分开，组成两个不同的小数：
0.7108......
和
0.5236......
以这两个数分别量度正方形的水平方向和垂直方向，得出一个点，这个点就叫做原来线段上那个点的“对偶点”。反过来，对于正方形内的任意一点，比如说由0.4835，0.9907这两个数描述的点，我们把这两个数掺到一起，就得到了线段上的相应的“对偶点”0.49893057。
很清楚，这种做法可以建立那两组点的一一对应关系。线段上的每一个点在平面上都有一个对应的点，平面上的每一个点在线段上也有一个对应点，没有剩下来的点。因此，按照康托尔的标准，正方形内所有点数所构成的无穷大数与线段上点数的无穷大数相等。
用同样的方法，我们也容易证明，立方体内所有的点数和正方形或线段上的所有点数相等，只要把代表线段上一个点的无穷小数分作三部分，并用这三个新小数在立方体内找“对偶点”就行了。和两条不同长度线段的情况一样，正方形和立方体内点数的多少与它们的大小无关。
尽管几何点的个数要比整数和分数的数目大，但数学家们还知道比它更大的数。事实上，人们已经发现，各种曲线，包括任何一种奇形怪状的样式在内，它们的样式的数目比所有几何点的数目还要大。因此，应该把它看作是第二级无穷数列。
无穷大的大小并不是所有无穷大都相等，它们甚至可以比较大小：
零级无穷大：所有整数的数量
一级无穷大：所有小数的数量（等于上面提及的线上所有的点数、面上所有的点数、立体上所有的点数）
二级无穷大：在一张纸上随意地画线条，所有可能画出的线条数目（曲线样式的数目）
零级无穷大<一级无穷大<二级无穷大
所有的无穷大都与上述三者之一相等
二级无穷大是当前已知的最大的无穷大