幺半群
在抽象代数此一数学分支中，幺半群是指一个带有可结合二元运算和单位元的代数结构。幺半群在许多的数学分支中都会出现。在几何学中，幺半群捉取了函数复合的概念。
定义幺半群是一个带有二元运算 *:M×M→M的集合M，其符合下列公理：
结合律：对任何在M内的a、b、c， (a*b)*c=a*(b*c) 。
单位元：存在一在M内的元素e，使得任一于M内的a都会符合a*e=e*a=a。
通常也会多加上另一个公理：
封闭性：对任何在M内的a、b，a*b也会在M内。
生成元和子幺半群
幺半群M的子幺半群是指一个在M内包含着单位元且具封闭性（即若x,y∈N，则x*y∈N）的子集N。很明显地，N自身会是个幺半群，在导自M的二元运算之下。等价地说，子幺半群是一个子集N，其中N=N，且上标 * 为克莱尼星号。对任一于M内的子集N而言，子幺半群N会是包含着N的最小幺半群。
子集N被称之为M的生成元，当且仅当M=N。若N是有限的，M即被称为是有限生成的。
可交换幺半群
运算为可交换的幺半群称之为可交换幺半群（或较少地，称之为阿贝尔幺半群）。可交换幺半群经常会将运算写成加号。每个可交换幺半群都自然会有一个它自身的代数预序 ≤ ，定义为下：x ≤ y当且仅当存在z使得x+z=y。可交换幺半群M的序单位是一个在M内的元素u，其中对任一在M内的元素x而言，总会存在一个正整数n使得x ≤ nu。这经常用在M是偏序阿贝尔群G的正锥体的情况，在这种情况下我们称u是G的序-单位。有接受任何交换幺半群，并把它变成全资格阿贝尔群的代数构造；这个构造叫做格罗滕迪克群。
部分可交换幺半群
运算只对某些元素而不是所有元素是交换性的的幺半群是迹幺半群；迹幺半群通常出现在并发计算理论中。
性质在一幺半群内，可以定义一元素x的正整数幂：x=x及x=x*...*x(乘上n次)，其中n>1。幂的规则x=x*x则是很明显的。
由定义可以证明其单位元e是唯一的。然后，对任一x，可以设x为e，则其幂的规则在非负幂中依然会是成立的。
逆元素：一元素x称为可逆，若存在一元素y，使得x*y=e且y*x=e。此一元素y便称做x的逆元素。结合律使得其逆元素(若存在)是唯一的。
若y是x的逆元素，则可以定义x的负幂，以x=y及x=y*...*y(乘上n次)，其中n>1。如此幂的规则在所有整数就都成立了，这也是为什么x的逆元素通常会写做x。所有在幺半群M内的可逆元素，和其自身的运算可组成一个群。在这意思之下，每个幺半群都含有一个群。
但并不是每个幺半群都包含在一个群内的。例如，绝对可能有一个幺半群，其两个元素a和b会有a*b=a的关系，即使b不是单位元。如此的幺半群是不可能包含于一个群内的， 因为在群里，两边一同乘a的逆元素，就会得到b=e的结果，但这不是真的。一个幺半群(M,*)若具有消去性，即表示对任何在M内的a、b、c，a*b=a*c永远意指b=c且b*a=c*a也永远意指b=c。一具有消去性的可交换幺半群总是可以包含于一个群内。这是为什么整数(加法运算下的群)可以由自然数(具有消去性的加法运算下的可交换幺半群)建立。但一具有消去性的不可交换幺半群则一定不可能包含于一个群之中。
若一幺半群有消去性且是有限的，它会是一个群。
一可逆幺半群为一幺半群，其任一在M内的a，总存在一唯一在M内的a，使得a=aaa且a=aaa。
一幺半群G的子幺半群是G的子集H，其包含有单位元，且若x、y属于H，则xy属于H。很清楚地，H本身也是个幺半群，在G的二元运算之下。
幺半群同余和商幺半群幺半群同余是相容于幺半群乘积的等价关系。就是说它是子集
使得它是自反的、对称的和传递的(如同所有等价关系必须的那样)，还要有如果 且 对于所有M中的x,y,u和v，则有 的性质。
幺半群同余引发同余类
而幺半群运算 * 引发在同余类上的二元运算 :
它是幺半群同态。它明显的也是结合的，所以所有同余类的集合也是幺半群。这个幺半群叫做商幺半群，可以写为
一些额外的符号是公用的。给定子集 ，写
对于引发自L的同余类的集合。在这个表示法中，明显的 。但是一般的说， 不是幺半群。走相反的方向，如果 是商幺半群的子集，写
当然这只是X的成员的并集。一般的说， 不是幺半群。
明显的有 且 。
幺半群同态两个幺半群(M, *)和(M′, @)之间的同态是一个函数f:M→M′，会有如下两个性质：
f(x*y) =f(x)@f(y) 对所有在M内的x和yf(e) =e′ 其中e和e′分别是M和M′的单位元。
不是每一个群胚同态都会是个幺半群同态，因为它不一定会维持单位元。和上述不同，群同态的情况则会成立：群论的公理确保每一两群之间的群胚同态都会维持住单位元。对于幺半群，这不是永远成立的，而必须有另外的要求。
双射幺半群同态称做幺半群同构。