代数拓扑
代数拓扑(Algebraic topology)是使用抽象代数的工具来研究拓扑空间的数学分支。
代数不变量方法这里的目标是取拓扑空间然后把它们进一步分成范畴或分类。该课题的旧称之一是组合拓扑，蕴含着将重点放在如何从更简单的空间构造空间X的意思。现在应用于代数拓扑的基本方法是通过代数不变量，把空间映射到不变量上，例如，通过一种保持空间的同胚关系的方式映射到群上。
实现这个的两个主要方法是通过基本群，或者更一般的同伦理论，和同调及上同调群。基本群给了我们关于拓扑空间结构的基本信息，但它们经常是非交换的，可能很难使用。（有限）单纯复形的基本群的确有有限表示。
另一方面来讲，同调和上同调群是可交换群，并且在许多重要情形下是有限生成的。有限生成交换群有完整的分类，并且特别易于使用。
同调的结果通过使用有限生成可交换群可以立刻得出几个有用的结论。单纯复形的n-阶同调群的自由阶等于n-阶贝蒂数(Betti number),所以可以直接使用单纯复形的同调群来计算它的欧拉特征数。作为另外一个例子，闭流形的最高维的积分上同调群可以探测可定向性：该群同构于整数或者0，分别在流形可定向和不可定向时。这样，很多拓扑信息可以在给定拓扑空间的同调中找到。
在只定义在单纯复形的单纯同调之上，还可以使用光滑流形的微分结构来通过德拉姆上同调或Čech上同调或层上同调来研究定义在流形上的微分方程的可解性。德拉姆证明所有这些方法是相互关联的，并且对于闭可定向流形，通过单纯同调得出的贝蒂数和从德拉姆上同调导出的是一样的。
在范畴论中一般来讲，所有代数几何的构造都是函子式的：概念范畴, 函子和自然变换起源于此。基本群，同调和上同调群不仅是两个拓扑空间同胚时的不变量；而且空间的连续映射可以导出所相关的群的一个群同态，而这些同态可以用于证明映射的不存在性（或者，更深入的，存在性）。
代数拓扑的问题代数拓扑的经典应用包括：
▲Brouwer不动点定理：每个从n维圆盘到自身的连续映射存在一个不动点。
▲n维球面可以有一个无处为0的连续单位向量场当且仅当n是奇数。(对于n=2,这有时被称为"毛球定理"。)
▲Borsuk-Ulam定理:任何从n维球面到欧氏n维空间的映射至少将一对对角点映射到同一点。
▲任何自由群的子群是自由的。这个结果很有意思，因为该命题是纯代数的而最简单的证明却是拓扑的。也就是说，任何自由群G可以实现为图X的基本群。覆盖空间的主定理告诉我们每个G的子群H是某个X的覆盖空间Y的基本群；但是每个这样的Y又是一个图。所以其基本群H是自由的。
代数拓扑中最著名的几何问题是庞加莱猜想。它已经由Hamilton，Grigori Perelman等数学家们解决（庞加莱定理）。同伦理论领域包含了很多悬疑，最著名的有表述球面的同伦群的正确方式。