容斥原理
容斥原理
在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
两个集合的容斥关系公式：A∪B = A+B - A∩B
三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C
详细推理如下：
１、 等式右边改造 = ｛【（A+B - A∩B）+C - B∩C】 - C∩A ｝+ A∩B∩C
２、文氏图分块标记如右图图：１２４５构成Ａ，２３５６构成Ｂ，４５６７构成Ｃ
３、等式右边（）里指的是下图的１+２+３+４+５+６六部分：
那么A∪B∪C还缺部分７。
４、等式右边【】号里+Ｃ（４+５+６+７）后，相当于A∪B∪C多加了４+５+６三部分，
减去B∩C（即５+６两部分）后，还多加了部分４。
５、等式右边｛｝里减去C∩A （即４+５两部分）后，A∪B∪C又多减了部分５，
则加上A∩B∩C（即５）刚好是A∪B∪C。
容斥原理1：
如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
例1 ：
一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？
分析：依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。
答案：15+12-4=23
试一试：电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，其中11人两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人？
100-(62+34-11)=15
容斥原理2：
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
例2：某校六（1）班有学生54人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有34人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有18人，排球、游泳都参加的有14人，问：三项都参加的有多少人？
分析：参加足球队的人数25人为A类元素，参加排球队人数22人为B类元素，参加游泳队的人数34人为C类元素，既是A类又是B类的为足球排球都参加的12人，既是B类又C类的为足球游泳都参加的18人，既是C类又是A类的为排球游泳都参加的14人，三项都参加的是A类B类C类的总和设为X。注意：这个题说的每人都参加了体育训练队，所以这个班的总人数既为A类B类和C类的总和。
答案：25+22+34-12-18-14+X=54 解得X=17
例3 在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有多少个？不能被3或5整除的数共有多少个？
分析：显然，这是一个重复计数问题（当然，如果不怕麻烦你可以分别去数3的倍数，5的倍数）。我们可以把“能被3或5整除的数”分别看成A类元素和B类元素，能“同时被3或5整除的数（15的倍数）”就是被重复计算的数，即“既是A类又是B类的元素”。求的是“A类或B类元素个数”。现在我们还不能直接计算，必须先求出所需条件。1000÷3=333……1，能被3整除的数有333个（想一想，这是为什么？）同理，可以求出其他的条件。
例4 分母是1001的最简分数一共有多少个？
分析：这一题实际上就是找分子中不能整除1001的数。由于1001=7×11×13，所以就是找不能被7，11，13整除的数。
例5
某个班的全体学生在进行了短跑、游泳、投掷三个项目的测试后，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一项达到了优秀，达到了优秀的这部分学生情况如下表：
短跑 游泳 投掷 短跑、游泳 短跑、投掷 游泳、投掷 短跑、游泳、投掷
1 7 1 8 1 5 6 6 5 2
求这个班的学生共有多少人？
分析：这个班的学生数，应包括达到优秀和没有达到优秀的。
试一试：一个班有42人，参加合唱队的有30人，参加美术组的有25人，有5人什么都没有参加，求两种都参加的有多少人？
例6
在一根长的木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种将木棍分成12等份，第三种将木棍分成15等份。如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？
分析：很显然，要计算木棍被锯成多少段，只需要计算出木棍上共有多少条不同的刻度线，在此基础上加1就是段数了。
若按将木棍分成10等份的刻度线锯开，木棍有9条刻度线。在此木棍上加上将木棍分成12等份的11条刻度线，显然刻度线有重复的，如5/10和6/12都是1/2。同样再加上将木棍分成15等份的刻度线，也是如此。所以，我们应该按容斥原理的方法来解决此问题。用容斥原理的那一个呢？想一想，被计数的事物有那几类？每一类的元素个数是多少？