康托尔悖论
康托尔（Georg Cantor，1845-1918，德） 康托尔1845年出生于俄国的圣彼得堡，后来离开俄国迁入德国，其家庭是犹太人后裔。早在学生时代，康托尔就显露出数学天才，不顾其父亲的反对，他选择了数学作为自己的专业，并于1867年以优异成绩获得了柏林大学的哲学博士学位，其后，在哈尔大学得到一个教师职位，1872年提升为教授。
1874年，康托尔开始引进他的令人感到神秘莫测的无穷大概念。伟大的伽利略曾经在先前考虑过无穷大，但康托尔是第一个建立起完整的逻辑结构的人，在这种结构中，他提出一个超限数的序列，可以说，这就是无穷大的级。
从能够加以描述的集合来说，无穷大的级并不很多，全体整数序列相当于它的第一级，所有实数的集合较高一级，相当于第二级，而所有函数的集合又较高一级，相当于第三级，但到此我们就必须止步了。
康托尔的观点并未能被同时代的所有人接受，特别是康托尔的老师克朗涅克尔（L.Kronecker）就猛烈攻击康托尔的研究工作，同时出于专业嫉恨，他还竭力阻挠康托尔的提升，不让其在柏林大学获得一个职位。长期的过渡疲劳和激烈的争吵论战，使得康托尔的精神终于在1884年崩溃，1918年1月6日，他在哈尔精神病医院逝世。
一年一度的某中学艺术节又要到来了。本次艺术节共设三项：书画比赛、歌咏比赛和围棋比赛。初二·三班的文艺委员孟娟对本班参赛人员进行统计，结果是：参加书画比赛的15人，参加歌咏比赛的28人，参加围棋比赛的25人，但使孟娟百思不得其解的是，参加人员总计68人，而她的班里总共才有60人，剩余的8人是从何处来的呢？原来，这是由集合的性质造成的。
关于集合的理论是19世纪末开始形成的。当时德国数学家康托尔试图回答一些涉及无穷量的数学难题，例如“整数究竟有多少？”“一个圆周上有多少点？”0—1之间的数比1寸长线段上的点还多吗？”等等。而“整数”、“圆周上的点”、“0—1之间的数”等都是集合，因此对这些问题的研究就产生了集合论。
集合是什么呢？用康托尔的话说，集合就是把具体的或思想上的一些确定的、彼此不同的对象聚集成的整体。简单说来，集合就是一组事物。例如“中华人民共和国的直辖市”、“星期二数学课迟到的人”、“张三穿过的鞋”等都是集合。物以类聚，人以群分，同类的人或事物总有共同的特点或性质，根据这种特点或性质就可以决定一个类，这个类就是集合。任何人或事物总是处于不同的集合中，甚至你自己也会是一些集合内的成员，如你的家庭、你上学的班、你参加的校外活动小组等。生活中我们有时也用其他的词如群、套、队、族、类、班等等来表示集合。
集合可以是一组数字、一群人、一些图形、一类概念。构成一个集合的东西均属于这个集合，属于这个集合的个体称为集合的元素，比如“小于7的奇数”就是一个集合，构成这个集合的1、3、5就是这个集合的元素。“中学课本”也是一个集合，组成此集合的物理课本、化学课本、英语课本等是这个集合的元素。给出一个集合，就规定了这个集合是由哪些元素组成的。显然，对于任何事物来说，它要么属于一个集合，要么不属于这个集合，二者必居其一。如1和3属于“小于7的奇数”这一集合，而6和8则不属于这个集合。
“小于7的奇数”这一集合由元素1、3、5组成，人们通常把这种说法用符号表示，记作：｛1，3，5｝，花括号｛｝示集合的元素的组成，一般用英语大写字母表示集合，如A＝｛1，3，5｝。这种表示集合的方法称为列举法。而“小于7的奇数”是通过描述集合元素的共同性质的方法来表示这个集合的，因此这种方法又称为描述法或特征法。这两种表示法是可以互换的。一般地，如果集合由有穷个元素组成，且这些元素又知道得清清楚楚，那么最简便的方法就是列举法，如“中国的直辖市”可表示为｛北京，天津，上海｝”而如果元素为无穷多个，或者即使为有穷多个，但其元素太多，那么一般使用描述法，如“济南市的居民”、“大于9的奇数”。有时描述法也可这样表示：A=｛X｜X 是济南的居民｝，B=｛X｜X是大于9的奇数｝。
在算术中我们常比较一些数，找出其中哪一个数较大。集合也可以进行比较，而比较的方法之一就是把一个集合的元素与另一个集合的元素进行比较。集合｛1，3，5，7｝与集合｛2，4，6，8｝不同，因为二者的元素不同。而集合A＝｛a，b，c｝与集合B＝｛c，b，a｝则是相同的，这是因为这两个集合有着相同的元素，这时我们记作A＝B。至于元素排列的次序是否一样，倒是没有关系的，只要两个集合具有相同的元素，它们就是相等的。
集合之间还可以采用一一对应的方法进行比较。古时有一人遭诬陷后被关进了漆黑一团的地下室里，他一心想着能早日出去报仇，但在这幽暗的世界里，没有黑夜与白天的分别，当然更没有天数的概念、怎么能知道自己在这里呆了多少天呢？他发现了一个窍门，原来狱卒每隔一天倒一次马桶。于是每当狱卒倒马桶时，他就用石块在墙上划一道线，这样马桶的集合与线的集合就形成一一对应，而马桶的集合又与日期的集合形成一一对应，因此，从线的多少就可以知道天数的多少。
要对任何两个集合进行比较，只要用一个集合的元素去对应另一个集合的元素就可以了。如果两个集合有一一对应的关系，那么我们就说两个集合是等价的，如上述线的集合、马桶的集合、日期的集合相互之间都是等价的。但值得注意的是两集合等价与相等不是一回事。例如在初一·二班中有张三和李四两位同学，张三的老师的集合A与李四的老师的集合B是相等的，因为两集合的元素是完全相同的；也就是：
A＝｛王五，赵六，周七｝
‖ ‖ ‖
B＝｛王五，赵六，周七｝
但假如张三与李四不是同一学校的，张三的老师的集合A与李四的老师的集合C就不是相等而是等价的，因为两集合的元素只是一一对应，而不是相同的，也就是：
A＝｛王五，赵六，周七｝
C=｛吴八，郑九，陈十｝
判断若干个集合是否等价最简单的办法就是看每个集合内元素的个数是否相等，一集合的元素的个数称为此集合的基数，例如｛北京，天津，上海｝这一集合有三个元素，故其基数为3，而｛《孔乙己》，《风波》，《阿Q正传》，《一件小事》｝有四个元素，则基数为4。
有一些集合，它们的元素是有穷的，如｛1，4，9，……100｝，｛里根，布什，克林顿｝，这种集合称为有穷集合。而有些集合则有无穷多个元素，如整数的集合、宇宙中星体的集合等，这种集合称为无穷集合。无穷集合的基数大于任何有穷集合的基数。由上节的分析可以看出，无穷集合可以通过一一对应的方法进行比较，但却出现了令人惊讶的结果，如偶数集合与自然数集合的元素一样多，一条线上点的集合与平面上点的集合其元素也是相等的。康托尔把无穷集合的概念作为集合理论的基础，并证明无穷集合的一个显著特点就是无穷集合自身可与其部分具有一一对应关系。
还有一种集合与无穷集合恰好相反，这种集合不包含任何元素，例如“能被2整除的奇数的集合”、“活到1200岁的人的集合”等，这些集合叫空集。在我们讨论具有某种性质的对象时，把具有这种共同性质的一切元素组成的集合叫做全集。例如在某运动会中，参加某一项目竞赛的共有10名运动员，那么这10名运动员组成的集合就是参赛运动员的全集。
在一集合中，我们可以拿出一部分元素来组成新的集合。在本节开始所述的例子中，“初二·三班的学生”是一集合，而在这些学生中，又可以分出几种不同类型的学生，如参加歌咏比赛的学生、参加书画比赛的学生、参加围棋比赛的学生等。这几类学生是初二·三班学生组成的几种集合，这些集合都是初二·三班学生集的子集。显然，子集是包含于原来集合的子集的元素，如张三既是参加书画比赛学生集的元素，同时也是初二·三班学生集的元素。当然，我们还可以按其他条件组成不同的子集。如男学生集、女学生集、团员学生集、参加英语学习小组学生集等等。那么给定一个集，能组成多少个子集呢？我们具体看一下，例如：
｛1｝可有｛｝、｛1｝2个子集；
｛1，2｝可有｛｝、｛1｝、｛2｝、｛1，2｝4个子集；
｛1，2，3｝可有｛｝、｛1｝、｛2｝、｛3｝、｛1，2｝、｛1，3｝、｛2，3｝、｛1，2，3｝8个子集。
依次类推，可以看出，一个含有n个元素的集合有2n个子集。
需要注意的是，在集合论中，对于集合有多少元素没有限制，所以会出现只有一个元素的或没有元素的子集（空集），原集本身也是自己的子集。所以当我们问原集能有多少个子集的时候，空集和原集也须计算在内。
一个集合的所有子集也可以组成集合，这个集合叫做原集的幂集。例如｛张三，李四｝这一集合的幂集就是
｛｛｝｛张三｝，｛李四｝，｛张三，李四｝｝。
两个或两个以上的集合还可以通过运算形成新的集合。例如英语考试优秀的学生集A＝｛赵丽，王芳，陈凤｝，数学考试优秀的学生集B＝｛朱军，王铭，王芳｝。这两个集可以相加组成集C，它既包含了A的元素，又包含了B的元素，这个集就是｛赵丽，王芳，陈凤，朱军，王铭｝。这个集称为A和B的并集。注意的是，王芳在上面的集中不必写两次，只要写一次就说明她是C的元素了。因此C的基数并不等于A的基数加B的基数，而是二者相加后再减去共同的元素。文艺委员盂娟在作统计时实际上就是把3个子集进行相加，但要把3个子集的基数相加后再减去共同的元素才能等于初二·三班的总人数。而孟娟只是简单相加，忘记了应减去相同的元素，难怪要多出8人了。集合A和B还可以相乘得一新集合D，D是由于A、B中共同的元素组成的集即｛王芳｝，D称为A和B的交集。
以上是康托尔集合论的一些基本概念。康托尔的理论，特别是一一对应的方法造成的无穷中的悖论，与传统观念格格不入，难怪一开始康托尔就遭到那些坚持传统观念人士的强烈反对，说他的理论是“雾中之雾”，甚至有人骂他是疯子。当时德国数学权威、他的老师克洛耐克的攻击尤为激烈。他说：“康托尔走进了超穷数的地狱。”他有一句名言：“上帝创造了正整数，其余的是人的工作。”就是说，人只能在正整数的有穷范围内研究，至于无穷的世界则完全超乎人的能力之外。甚至不承认康托尔为他的学生。在这种情况下，康托尔长期受到压抑和排挤，竟然得不到柏林大学的教授职位，他郁郁不得志，一度精神崩溃，放弃数学的研究，后来终于在一家精神病院去世。
然而康托尔集合论的创立是人类思维发展史上的一座里程碑，它标志着人类经过几千年的努力，终于基本弄清了无穷的性质。因此越来越多的人开始承认它，并成功地把它应用到许多别的数学领域中去。大家认为，集合论确实是数学的基础。而且，由于集合论的建立，数学的“绝对严格性已经取得”。这时，数学的王国里春光明媚，阳光和煦，一派太平景象。然而正当人们喜气洋洋、兴高采烈地准备大摆“百牛宴”时，数学王国的大地上突然爆发了空前强烈的地震——在集合论发现了一系列的悖论。
这些悖论的出现，可以说是康托尔集合论的必然结果。实际上在19世纪末，康托尔本人就已发现自己理论中有不少矛盾，但他没有声张，而是悄悄地在利用。
由上可知，有1个元素的集合其子集有2个，有2个元素的集合其子集共有4个，一般地，有n个元素的集合其子集有2n个,n个元素的集合其基数为n，而其所有子集组成的集合的基数为2^n ，显然2^n＞n。因此有“康托尔定理”：任意集合（包括无穷集）的幂集的基数大于该任意集合的基数。
据康托尔集合理论，任何性质都可以决定一个集合，这样所有的集合又可以组成一个集合，即“所有集合的集合”（大全集）。显然，此集合应该是最大的集合了，因此其基数也应是最大的，然而其子集的集合的基数按“康托尔定理”又必然是更大的，那么，“所有集合的集合”就不成其为“所有集合的集合”，这就是“康托尔悖论”。对这一悖论，康托尔并没有感到害怕，因为通过反证法恰恰证明没有“所有集合的集合”或者说“最大的集合”，当然也没有“最大的基数”。
悖论的出现这时并没有引起多大的震动，人们觉得这似乎仅仅牵涉到集合理论的一些技术问题，只要作适当的修正，集合论仍然会成为数学大厦的基础，康托尔只是利用悖论进行反证，而并没有细究悖论的来源及意义，他没有意识到这种反证之所以可能，是因为他的理论中所使用的基本概念“集合”、“属于”、“元素”是包含着矛盾的。1901年罗素发表的“罗素悖论”则“剥掉了数学技术性的细节”，使其中的矛盾赤裸裸地暴露出来了！