差分

英语表达：difference

首先我们来看在“无限演算”中所使用的

Df(x) = Limit[f(x+h)-f(x),h -> 0]

这是定义微分算子D的性质。“有限演算”基于由

Δf(x)=f(x+1)-f(x)

定义在差分算子Δ的性质上。

差分与微分有许多类似的性质(事实上微分可认为是差分的极限)，对于幂函数的微分有

D(x^m) = m * x^(m-1) dx

我们寻找一种类似的差分性质：

设：

Mi(x,m) = x(x-1)(x-2)…(x-m+1) ， 整数 m > 0

Mi(x,m) = x/((x+0)(x+1)(x+2)…(x+m))，整数 m ≤ 0

那么

ΔMi(x,m) = m * Mi(x,m-1) .

定义了差分，那么就有其逆算子，我们称之为逆差分：

g(x) = Σf(x) + C

Σ为逆差分算子，g(x) 为 f(x) 的逆差分，C是在x,x+1,x+2……上为任意常数的函数，我们可以使用逆差分来进行求和运算：

Sum[f(x),{x,m,n-1}] (Mathematica语法)

= Sum[g(x+1)-g(x),{x,m,n-1}]

= g(n) - g(m)

注：Sum即Σ逆差分算子。

这里我们可以求出一些函数的逆差分：

ΣMi(x,m) = Mi(x,m+1)/(m+1) + C ,

Σ1/x = H(x-1) + C ,H(x) = 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/x,

Σ2^x = 2^x + C,

Σ1 = x + C

例 求：

Sum[x^2,{x,0,n}] (Mathematica语法)

= Sum[Mi(x,2) + Mi(x,1),{x,0,n}]

= Sum[Mi(x,2),{x,0,n}] + Sum[Mi(x,1),{x,0,n}]

= (Mi(n+1,3) - Mi(0,3))/3 + (Mi(n+1,2) - Mi(0,2))/2

= n(1+n)(1+2n)/6

因为：

Δ(u(x)*v(x))

= u(x+1)*v(x+1) - u(x)*v(x)

= u(x+1)*v(x+1) - u(x+1)*v(x) + u(x+1)*v(x) - u(x)*v(x)

= u(x+1)*Δv(x) + v(x)*Δu(x)

所以：

v(x)*Δu(x) = Δ(u(x)*v(x)) - u(x+1)*Δv(x)

所以：

Σv(x)*Δu(x) = u(x)*v(x) - Σu(x+1)*Δv(x)

例 求：

Σx*H(x)

= ΣH(x)ΔMi(x,2)/2

= H(x) * Mi(x,2)/2 - ΣMi(x+1,2)/2*ΔH(x)

= H(x) * Mi(x,2)/2 - ΣMi(x+1,2)/2 * 1/(x+1)

= H(x) * Mi(x,2)/2 - Σx/2

= H(x) * Mi(x,2)/2 - Mi(x,2)/4 + C