代数曲面
代数曲面是代数几何中考虑的另一类重要的几何对象。它是紧的4维定向实流形，也就是紧复2维流形。 它是比代数曲线更为复杂的研究对象。
代数曲面自带了一些重要的数值不变量。 这些量主要包括：典范体积，上同调的欧拉示性数，拓扑的欧拉示性数。 不变量是反映曲面自身特征的数值量。
这三个不变量满足一个简单的线性关系式，即著名的诺特公式(X.Noether)。
是否存在这样的代数曲面，使得它的不变量恰好有指定的值呢？这就是代数曲面理论所要研究的课题－－称为曲面地理学。
其次我们要将所有的曲面按照各类不变量进行分类，就好比按照生物的不同性状分成各个种类。 因此人们把这一工作称为曲面的生物学分类。
代数曲面上的曲线也是重要的研究对象。 著名的Riemann－Roch定理就是揭示曲线和曲面关系的一个深刻结果。