O'Stolz定理

设有数列An,Bn 若Bn>0递增且有n-->+∞时Bn-->+∞(以下lim均表示lim(n-->∞))

则有:

若lim(An+1-An)/(Bn+1-Bn)=L(L可以是0,有限数,或+∞(-∞))

==>lim(An)/(Bn)=L

证明如下:

1)当L=0时;

由条件得:

对任意e>0 存在N使 当n>N时有:

|(An+1-An)/(Bn+1-Bn)-L|<e,即|(An+1-An)/(Bn+1-Bn)|<e;

又Bn>0递增且有n-->+∞时Bn-->+∞,

原式化为:|An+1-An|<e*(Bn+1-Bn)......(1);

固定e,则存在N1>=N,当n>N1时,有

-e*BN+|AN|<e*Bn

即|AN|<e*(BN+Bn) ..........(2)重要!!!!!

|An|<=|An-An-1|+|An-1-An-2|+....+|AN+1-AN|+|AN|,代入(1)式,得:

<=e*(Bn-Bn-1)+.....+e(BN+1-BN)+|AN|,代入(2)式,得:

<e*(Bn-BN)+e*(Bn+BN)

即|An|<2e*Bn

故|(An)/(Bn)-0|<2e

由数列定义知lim(An)/(Bn)=0

2)当L=C (C!=0)时

即有lim(An+1-An)/(Bn+1-Bn)=C,

令Cn=An-C*Bn,

显然有lim(Cn+1-Cn)/(Bn+1-Bn)=0,

由1)得:

故lim(Cn)/(Bn)=0,

即有lim(An)/(Bn)=C,

3)当L=+∞(L=-∞时类证)时

存在N,当n>N时

有(An+1-An)/(Bn+1-Bn)>1

得出An>Bn>0,且满足An>0递增且有n-->+∞时An-->+∞

所以lim(Bn+1-Bn)/(An+1-An)=0+ (0+即从正数趋近于0)

由1)得:

lim(Bn)/(An)=0+

故lim(An)/(Bn)=+∞

证毕

PS:手都打软了 问了N久都没有人会!!!!求人不如求己!!!!!