整环

整环是抽象代数中最基本的概念之一。

一个环是一个集合 A 以及它上面的两种运算，分别称为“加法”（+）和“乘法”（*），满足以下条件：

1、A 关于加法成为一个 Abel 群（其零元素记作 0）；

2、乘法满足结合律：(a * b) * c = a * (b * c)；

3、乘法对加法满足分配律：a * (b + c) = a * b + a * c, (a + b) * c = a * c + b * c；

如果环 A 还满足以下乘法交换律，则称为“交换环”：

4、乘法交换律：a * b = b * a。

如果交换环 A 还满足以下两条件，就称为“整环”：

5、A 中存在非零的乘法单位元，即存在 A 中的一个元素，记作 1，满足：1 不等于 0，且对任意 a，有：1 * a = a * 1 = a；

6、ab=0 => a=0 或 b=0。

例：

1、整数环是整环。

2、所有的域（有理数域，实数域，复数域，等等）都是整环。

3、整环上的多项式环仍是整环。

4、当 n>1 时，任意环上的n阶矩阵环不是整环。