公理化集合论

公理化集合论是数学的一门分支。在数学中，公理化集合理是集合论透过建立一阶逻辑的严谨重整，以解决朴素集合论中出现的悖论。集合论的基础主要由德国数学家格奥尔格·康托尔在19世纪末建立。

集合论中其中一套由Skolem最后整理的公理系统，称为Zermelo-Fraenkel 集合论 (ZF)。实际上，这个名称经常不包括历史上远比今天具争议性的选择公理，当包括了选择公理，这套系统被称为ZFC。

外延公理: 两个集合相同，当且仅当它们拥有相同的元素。 空集公理: 存在着一个不包含任何元素的集合，我们记这个空集合为{}。配对公理: 假如x,y为集合，那就有另一个集合{x,y}包含x与y作为它的仅有元素。并集公理: 每一个集合也有一个并集。也就是说，对于每一个集合x，也总存在着另一个集合y，而y的元素也就是而且只会是x的元素的元素。 无穷公理: 存在着一个集合x，空集{}为其元素之一，且对于任何x中的元素y，yU {y}也是x的元素。 分类公理（或子集公理）：给出任何集合及命题P(x)，存在着一个原来集合的子集包含而且只包含使P(x)成立的元素。替代公理幂集公理: 每一个集合也有其幂集。那就是，对于任何的x，存在着一个集合y，使y的元素是而且只会是x的子集。 正规公理 (or axiom of foundation): 每一个非空集合x，总包含着一元素y，使x与y为不交集。 选择公理: (Zermelo's version) 给出一个集合x，其元素皆为互不相交的非空集，那总存在着一个集合y（x的一个选择集合），包含x每一个元素的谨谨一个元素。