三重积分

设三元函数z=f(x,y,z)定义在有界闭区域Ω上,将区域Ω任意分成n个子域Δvi(i=1,2,3,…，n），并以Δvi表示第i个子域的体积.在Δvi上任取一点(ξi,ηi,ζi),作和lim n→+∞ (n/i=1 Σ(ξi,ηi,ζi)Δvi).如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时,此和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分,记为∫∫∫f(x,y,z)dv,即

∫∫∫f(x,y,z)dv=lim n→+∞ （Σf(ξi,ηi,ζi)Δδi）其中dv叫做体积元素。

在直角坐标系中，又是也把体积元素dv记做dxdydz，而把三重积分记做∫∫∫f(x,y,z)dxdydz.其中dxdydz叫做直角坐标系中的体积元素。

三重积分的常用计算方法

1直角坐标系法：适用于被积区域不含圆形的区域

2柱面坐标法：适用被积区域的投影为圆时

3球面坐标系法：适用于被积区域包含球的一部分