燕尾定理

燕尾定理，因此图类似燕尾而得名，是一个关于三角形的定理（如图△ABC，D、E、F为BC、CA、AB 上的点，AD、BE、CF 交于O点）。

S△ABC中，S△AOB：S△AOC=S△BDO：S△CDO=BD：CD；

同理，S△AOC：S△BOC=S△AFO：S△BFO=AF：BF；

S△BOC：S△BOA=S△CEO：S△AEO=EC：EA。

证法1

下面的是第一种方法：相似三角形法

已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。

求证：AE=CE

证明：

如图，过点O作MN∥BC，交AB于点M，交AC于点N；

过点O作PQ∥AB，交BC于点P，交AC于点Q。

∵MN∥BC

∴△AMO∽△ABD，△ANO∽△ACD

∴MO：BD=AO：AD，NO：CD=AO：AD

∴MO：BD=NO：CD

∵AD是△ABC的一条中线

∴BD=CD

∴MO=NO

∵PQ∥AB

∴△CPO∽△CBF，△CQO∽△CAF

∴PO：BF=CO：CF，QO：AF=CO：CF

∴PO：BF=QO：AF

∵CF是△ABC的一条中线

∴AF=BF

∴PO=QO

∵MO=NO，∠MOP=∠NOQ，PO=QO

∴△MOP≌△NOQ(SAS)

∴∠MPO=∠NQO

∴MP∥AC（内错角相等，两条直线平行）

∴△BMR∽△BAE（R为MP与BO的交点），△BPR∽△BCE

∴MR：AE=BR：BE，PR：CE=BR：BE

∴MR：AE=PR：CE

∵MN∥BC，PQ∥AB

∴四边形BMOP是平行四边形

∴MR=PR（平行四边形的对角线互相平分）

∴AE=CE

命题得证。

证法2

下面的是第二种方法：面积法

已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。

求证：AE=CE

证明：

如图，

∵点D是BC的中点，点F是AB的中点

∴S△CAD = S△BAD，S△COD = S△BOD

∴S△CAD - S△COD = S△BAD - S△BOD

即S△AOC（绿） = S△AOB（红）

∵S△ACF = S△BCF，S△AOF = S△BOF

∴S△ACF - S△AOF = S△BCF - S△BOF

即S△AOC（绿） = S△BOC（蓝）

∴S△AOB（红） = S△BOC（蓝）

∵S△AOE:S△AOB（红） = OE:OB，S△COE:S△BOC（蓝） = OE:OB

∴S△AOE:S△AOB（红） = S△COE:S△BOC（蓝）

∵S△AOB（红） = S△BOC（蓝）

∴S△AOE = S△COE

∴AE=CE

命题得证。

证法3

下面的是第三种方法：中位线法

已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。

求证：AE=CE

证明：

如图，延长OE到点G，使OG=OB。

∵OG=OB

∴点O是BG的中点

又∵点D是BC的中点

∴OD是△BGC的一条中位线

∴AD∥CG（三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）

∵点O是BG的中点，点F是AB的中点

∴OF是△BGA的一条中位线

∴CF∥AG

∵AD∥CG，CF∥AG

∴四边形AOCG是平行四边形

∴AC、OG互相平分

∴AE=CE

命题得证。