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函数奇偶性

王朝百科·作者佚名  2010-01-13  
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1.定义

一般地,对于函数f(x)

(1)如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x)那么函数f(x)就叫做奇函数。

(2)如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数。

(3)如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x)和f(-x)=f(x),(x∈D,且D关于原点对称.)那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数,称为既奇又偶函数。

(4)如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立,那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶函数。

说明:①奇、偶性是函数的整体性质,对整个定义域而言。

②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称,如果一个函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不具有奇偶性。

(分析:判断函数的奇偶性,首先是检验其定义域是否关于原点对称,然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论)

③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。

④如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义,则这个函数在x=0处的函数值一定为0。

2.奇偶函数图像的特征:

定理奇函数的图像关于原点成中心对称图形,偶函数的图像关于y轴的轴对称图形。

f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称

点(x,y)→(-x,-y)

f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y轴对称

点(x,y)→(-x,y)

奇函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上也是单调递增。

偶函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上单调递减。

3.证明方法

先判断函数定义域是否关于原点对称,若不对称则函数既不是奇函数也不是偶函数,然后再证明f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)

 
 
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