超正方体
超正方体（Tesseract, hypercube）又称超立方体或正八胞体，在几何学中四维方体是立方体的四维类比，四维方体之于立方体，就如立方体之于正方形，四维方体是四维凸正多胞体，有8个立方体胞，立方体维数大于3推广的是超立方体或测度多胞体。
几何性质在四维欧几里得空间的标准四维方体是点(±1, ±1, ±1, ±1)的凸包。它包含了点：
四维方体由八个超平面(xi = ±1)包围。两两非平行超平面相交，共形成四维方体的24个正方形面。每条棱有3个立方体和3个正方形相交。在每一顶点有4个立方体、6个正方形和4条棱相交。四维方体共有8个立方体、24个正方形、32条棱和16个顶点。
四维方体的每一顶点与4条棱相邻，所以四维方体的顶点形是正四面体。所以四维方体的施莱夫利符号是{4,3,3}。其对偶多胞体是正十六胞体，施莱夫利符号是{3,3,4}。
通俗的理解，就是把八个正方体在四维空间内折叠起来形成超正方体，正如把六个正方形在三维空间内折叠而形成一个正方体一样。
投射
四维方体不易想象，但可以投射至3维或2维空间。在2维平面的投射，把顶点位置调整后，可以了解更多。如此获得的图像，不再反映四维方体空间构造，而是反映顶点间的联系。
对于生活在三维空间的人类来说，四维世界是很神秘的概念。正像生活在二维世界里的小人（如果存在）很难想象三维世界一样，我们同样难于想象四维世界。不过也正像我们可以通过研究三维物体在二维物体上的投影来研究想象三维物体一样，我们也可以通过四维物体在三维世界中的立体图形投影来研究四维世界。
图1 所示的是一个立方体在二维世界中的投影。二维小人多多少少可以通过这些投影来想象那个“三维立方体”的神秘图形。他们可以数出这个立方体有8个顶点，12条边，6个面。不要被图2中古怪的玩艺儿所吓倒，它只不过是四维立方体在三维世界中的投影而已。我们称之为四维超正方体，我们可以想象出超正方体有 16个顶点，32条棱，24个面，8个体。
如果四维超正方体不太好想象的话，我们换成球试试吧。三维球嘛，无论从哪个方向投影在二维平面上都只是一个半经等同的圆形，这样我们就很容易想到四维球在三维世界中的投影只不过是一个半径等同的球了。如果还想要讨论得深入一些，不妨试试球穿越问题。比如说一个球穿过一个二维平面，二维小人会发现平面上凭空冒出一个慢慢变大的点，后来眼看着扩张成圆，又慢慢缩小成点，最后突然消失。如果这个令二维小人惊讶不已的事实让你并不觉得奇怪，那么以下的情形你定会吃惊不小；在你面前无中生有地出现一个点，扩成球又缩回点，再突然消失。多么神奇！其实这只不过是四维球穿越三维世界的情形。
这里讲一种思维方式，当你不能够理解四维的某些描述的时候，试着把自己当作二维人生活在扁平的世界里看三维(你能够理解，但是你的描述是受限的)。
这里再转贴一个克莱因瓶的文章，注意不要象我当时对瓶壁上的洞的理解那样，对这个瓶子嗤之以鼻，告诉你，那里没有洞，这是个四维穿越。
克莱因瓶
在1882年，著名数学家菲立克斯・克莱因(Felix Klein)发现了后来以他的名字命名的著名“瓶子”。这是一个象球面那样封闭的（也就是说没有边）曲面，但是它却只有一个面。在图片上我们看到，克莱因瓶的确就象是一个瓶子。但是它没有瓶底，它的瓶颈被拉长，然后似乎是穿过了瓶壁，最后瓶颈和瓶底圈连在了一起。如果瓶颈不穿过瓶壁而从另一边和瓶底圈相连的话，我们就会得到一个轮胎面。
【Klein瓶】
我们可以说一个球有两个面――外面和内面，如果一只蚂蚁在一个球的外表面上爬行，那么如果它不在球面上咬一个洞，就无法爬到内表面上去。轮胎面也是一样，有内外表面之分。但是克莱因瓶却不同，我们很容易想象，一只爬在“瓶外”的蚂蚁，可以轻松地通过瓶颈而爬到“瓶内”去――事实上克莱因瓶并无内外之分！在数学上我们称克莱因瓶是一个不可定向的二维紧致流型，而球面或轮胎面是可定向的二维紧致流型。
【Felix Klein（菲立克斯・克莱因）】
如果我们观察克莱因瓶的图片，有一点似乎令人困惑――克莱因瓶的瓶颈和瓶身是相交的，换句话说，瓶颈上的某些点和瓶壁上的某些点占据了三维空间中的同一个位置。但是事实却非如此。事实是：克莱因瓶是一个在四维空间中才可能真正表现出来的曲面，如果我们一定要把它表现在我们生活的三维空间中，我们只好将就点，只好把它表现得似乎是自己和自己相交一样。事实上，克莱因瓶的瓶颈是穿过了第四维空间再和瓶底圈连起来的，并不穿过瓶壁。这是怎么回事呢？
我们用扭节来打比方。看底下这个图形：
【扭结】
如果我们把它看作平面上的曲线的话，那么它似乎自身相交，再一看似乎又断成了三截。但其实很容易明白，这个图形其实是三维空间中的曲线，它并不和自己相交，而且是连续不断的一条曲线。在平面上一条曲线自然做不到这样，但是如果有第三维的话，它就可以穿过第三维来避开和自己相交。只是因为我们要把它画在二维平面上时，只好将就一点，把它画成相交或者断裂了的样子。克莱因瓶也一样，这是一个事实上处于四维空间中的曲面。在我们这个三维空间中，即使是最高明的能工巧匠，也不得不把它做成自身相交的模样；就好象最高明的画家，在纸上画扭结的时候也不得不把它们画成自身相交的模样。
用解析几何的方法，采用坐标来表示超立方体的话：
单位正方形的坐标：（0，0），（0，1），（1，0）（1，1）
单位正方体的坐标：（0，0，0），（0，0，1），（0，1，0），（0，1，1），（1，0，0），（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1）
那么N维空间中的点用N维行向量来表示（X1，X2，……，Xn)
非退化的N维方体每个坐标分量Xi有两个不同的取值。如前两例单位方体的Xi取0和1
那么很显然N个不同的坐标分量不同的取法就等于2的N次方。
那么四维超正方体的顶点：（0000），……，（1111）
下面看一个四维立方体的图：
四维立方体的中心图：
四维立方体的平面投影图：
我们知道：
零维----点 顶点：1
一维----线段 顶点：2 边：1
二维----面 顶点：4 边：4 面：1
三维----立方体 顶点：8 棱：12 面：6 空间：1
四维----超立方体 顶点：16 棱：32 面：34 空间：8 4-faces：1
五维----五维立方体 顶点：32 棱：80 面：80 空间：40 4-faces：10 5-faces：1
……
五维立方体中心图：
五维立方体投影图：
九维立方体的中心图：
九维立方体的投影图：
由此我们可以总结出其中的点线面等规律：
发现其中点线面的规律
n-cube vertices edges faces cells 4-faces 5-faces 6-faces ...n-f
0 1
1 2 1
2 4 4 1
3 8 12 6 1
4 16 32 24 8 1
5 32 80 80 40 10 1
6 64 192 240 160 60 12 1
...
9 1024/5120/11520/15360/13440/8064/3360/960/180/20/1