算术基本定理

算术基本定理任何一个大于1的自然数N，都可以唯一分解成有限个质数的乘积 N=(P_1^a1)*(P_2^a2)......(P_n^an) , 这里P_1<P_2<...<P_n是质数，其诸方幂 ai 是正整数。

这样的分解称为N 的标准分解式。

定理的应用（1）一个大于1的正整数N，如果它的标准分解式为： N=(P_1^a1)*(P_2^a2)......(P_n^an)

那么它的正因数个数为（1+a1)(1+a2).....(1+an)。

（2） 它的全体正因数之和为d(N)=(1+p_1+...p_1^an)(1+p_2+...p_2^a2)...(1+p_n+...+p_n^an)

当d(N)=2N时就称N为完全数。 是否存在奇完全数，是一个至今未解决之猜想。

（3） 利用算术基本定理可以重新定义整数a和b的最大公因子（a,b）和最小公倍数[a,b], 并证明ab=(a,b)[a,b].

(4)此外还可证明根号2是无理数等等（毕达哥拉斯）。

（4） 证明素数个数无限。

定理推广此定理可推广至更一般的交换代数和代数数论。 高斯证明复整数环Z[i]也有唯一分解定理。 它也诱导了诸如唯一分解整环， 欧几里得整环等等概念。 更一般的还有戴德金理想分解定理。