向量外积

把向量外积定义为：

|a×b|= |a|·|b|·Sin<a,b>.

方向根据右手法则确定，就是手掌立在a、b所在平面的向量a上，掌心向b，那么大拇指方向就是垂直于该平面的方向，被规定为外积的方向。

向量外积的代数运算形式为：

|e(i) e(j) e(k)|

a×b=| x(a) y(a) z(a) |

| x(b) y(b) z(b) |

这个行列式，按照第一行展开。e表示标准单位基。

分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。

下面给出代数方法。我们假定已经知道了：

1）外积的反对称性：

a×b= -b×a.

这由外积的定义是显然的。

2）内积（即数积、点积）的分配律：

a·(b+c) =a·b+a·c,

(a+b)·c=a·c+b·c.

这由内积的定义a·b= |a|·|b|·Cos<a,b>，用投影的方法不难得到证明。

3）混合积的性质：

定义(a×b)·c为向量a,b,c的混合积，容易证明：

i) (a×b)·c的绝对值正是以a,b,c为三条邻棱的平行六面体的体积，其正负号由a,b,c的定向决定（右手系为正，左手系为负）。

从而就推出：

ii)a·(b×c)=b·(c×a)=c·(a×b)

所以我们可以记a,b,c的混合积为(a,b,c)

由i)还可以推出：

iii) (a,b,c) = (b,c,a) = (c,a,b)

我们还有下面的一条显然的结论：

iv) 若一个向量a同时垂直于三个不共面矢a1,a2,a3，则a必为零向量。

下面我们就用上面的1）2）3）来证明外积的分配律。

设r为空间任意向量，在r·[a×(b+c)]里，交替两次利用3)的ii)、iii)和数积分配律2)，就有

r·[a×(b+c)]

= (r×a)·(b+c)

= (r×a)·b+ (r×a)·c

=r·(a×b) +r·(a×c)

=r·(a×b+a×c)

移项，再利用数积分配律，得

r·[a×(b+c) - (a×b+a×c)] =0

这说明向量a×(b+c) - (a×b+a×c)垂直于任意一个向量。按3)的iv)，这个向量必为零向量，即

a×(b+c) - (a×b+a×c)=0

所以有

a×(b+c) =a×b+a×c.

证毕。

三向量的外积

a×（b×c）=(a·c)b-（a·b）c