等幂
Idempotence
在数学里，等幂有两种主要的定义。
给定一二元运算，等幂元素是指乘上(或对一函数，复合它自己会等于它自己的元素。例如，乘法下唯一两个等幂实数为0和1。
一一元运算为等幂的时，其作用在任一元素两次后会和其作用一次的结果相同。例如，高斯符号便是等幂的。
一元运算的定义是二元运算定义的特例(详情请见下面)。
二元运算
设S为一具有作用于其自身的二元运算的集合，则S的元素s称为等幂的(相对于*)当
:s * s = s.
特别的是，任一单位元都是等幂的。若S的所有元素都是等幂的话，则其二元运算*被称做是等幂的。例如，联集和交集的运算便都是等幂的。
一元运算
设f为一由X映射至X的一元运算，则f为等幂的，当对于所有在X内的x，
:f(f(x)) = f(x).
特别的是，恒等函数一定是等幂的，且任一常数函数也都是等幂的。
注意当考虑一由X至X的所有函数所组成的集合S时。在f在一元运算下为等幂的若且唯若在二元运算下，f相对于其复合函数复合运算(标记为o)会是等幂的。这可以写成fof = f。
函数
如上述所说，恒等函数和常数函数总会是等幂的。较不当然的例子有实数或复数引数的绝对值函数，以及实数引数的高斯符号。
将一拓扑空间X内各子集U映射至U闭包的函数在X的幂集上是等幂的。这是闭包运算元的一个例子；所有个闭包运算元都会是等幂函数。
环的等幂元素
定义上，环的等幂元素为一相对于环乘法为等幂的元素。可以定义一于环等幂上的偏序：若e和f为等幂的，当ef = fe = e时，标记为e ≤ f。依其顺序，0会是最小等幂元素，而1为最大等幂元素。
若e在环R内为等幂的，则eRe一样会是个乘法单位元为e的环。
两个等幂元素e和f被称为正交的当ef=fe=0。在此一情形下，e+f也是等幂的，且有e ; e + f和f ; e + f。
若e在环R内为等幂的，则f = 1 - e也会是等幂的，且e和f正交。
一在R内的等幂元素e称为核心的，若对所有在R内的X，ex=xe。在此情形之下，Re会是个乘法单位元为e的环。R的核心等幂元素和R的分解为环的直和有很直接的关接。若R为环R1、...、Rn的直和，则环Ri的单位元在R内为核心等幂的，相互正交，且其总和为1。相反地，给出R内给相互正交且总和为1的核心等幂元素e1、...、en，则R会是环Re1、...、Ren的直和。所有较有趣的是，每一于R内的核心等幂e都会给出一R的分解－Re和R(1 - e)的直和。
任一不等于0和1的等幂元素都是零因子(因为e(1 - e) = 0)。这表示了整环及除环都不会存在此种等幂元素。局部环也没有此种等幂元素，但理由有点不同。唯一包含于一环的雅各布森根内的等幂元素只有0。共四元数环内会有一等幂元素组成的悬链曲面。
所有元素都等幂的环称做布尔环。可证明在每一此类环内，乘法都是可交换的，且每一元素都有其各自的加法逆元。
其他例子
等幂运算也可以在布林代数内找到。逻辑和与逻辑或便都是等幂运算。
在线性代数里，投射是等幂的。亦即，每一将向量投射至一子空间V(不需正交)上的线性算子，都是等幂的。
一等幂半环为其加法(非乘法)为等幂的半环。
另见
不动点(数学)