拿破仑定理

拿破仑·波拿巴(Napoleon Bonaparte, １７６９—１８２１) 对数学和数学家怀有特别的敬意, 并且欣赏他自己提出的问题．事实上, 以下定理即归属于他:

——以任意三角形的三条边为边, 向外构造三个等边三角形, 则这三个等边三角形的外接圆中心恰为另一个等边三角形的顶点．

拿破仑定理:切蜛BC中,向三边分别向外侧作正三角形，然后把这三个正三角形的中心连结起来所构成的一定是正三角形.

这一定理可以等价描述为：若以任意三角形的各边为底边向形外作底角为30°的等腰三角形，则它们的顶点构成一个等边三角形．

下面介绍拿破仑定理的两种推广：定理1

以△ABC的三边为底边各向形外作等腰三角形BCD，CAE和ABF，这三个等腰三角形的底角各为α，β和γ，且α+β+γ＝90°，则

∠FDE＝90°-α，∠DEF＝90°-β，∠EFD＝90°-γ．

证明

为方便计，把△ABC的三内角简记为A、B、C．因DC＝DB，则可将△DCE绕D点旋转∠BDC至△DBG位置，连FG．

∵∠FBG＝360°-∠DBF-∠DBG

＝360°- (α+β+γ) - (α+C+β)

＝180°-B-C+180°-2(α+β+γ)+β+γ

＝A+β+γ＝∠FAE．

又BG＝CE＝AE，FB＝FA，

∴△FBG≌△FAE，FG＝FE．

从而△DGF≌△DEF，∠FDG＝∠FDE，

同理∠DEF＝90°-β，∠EFD＝90°-γ．

定理2．

在△ABC的外侧作三角形△BCP、△CAQ和△ABR，使∠PBC＝∠QAC＝α，∠PCB＝∠QCA＝β，∠RAB＝∠RBA＝γ，且α+β+γ＝90°，则RQ＝RP，且∠QRP＝2α．

证明

RB绕R逆时针旋转2α至RG，连BG、AG、QG．

∵∠GBA＝∠GBR-γ

＝90°-α-γ

＝β

又RA＝RB＝RG，

即R为△ABG的外心，

∴△ABG∽△ACQ∽△BCP，

又∠BAC＝∠GAQ，

又∠RGQ＝∠AGQ+∠AGR

＝∠ABC+α+γ＝∠RBP，

∴∠RGQ≌△RBP．

∴RQ＝RP．

又因∠GRQ＝∠BRP，

∴∠QRP＝∠GRB＝2α．

以上摘自王朝拿破仑吧．

下面介绍一个更好想的方法：

计算法证明:

设新三个三角形的中心分别是Ｏ１Ｏ２Ｏ３，

设出角度及边长，表达出∣Ｏ１Ｏ２∣及∣Ｏ１Ｏ３∣的长.经计算均等于（a2+b2+c2）/6]+(abc/2*√3*R)

其中分别为三边长，Ｒ为三角形ＡＢＣ外接圆半径

有兴趣的朋友可以试试（尤其是高中朋友，可作为三角部分的练习题）