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龟兔悖论

王朝百科·作者佚名  2010-01-25  
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龟兔悖论

古希腊的学者曾经提出一个著名的龟兔赛跑悖论。它是这样的:乌龟先爬了一段在A1点,兔子在起点B点。兔子想要追上乌龟。但是,它在追乌龟的同时乌龟在往前爬。兔子想要追上乌龟,就必须到达乌龟开始所在的点A1。当它到达A1点时,乌龟又爬了一段到达A2点(它们之间的相对距离减小了)。然后兔子又必须追赶到达A2点,可是此时乌龟又到达A3点(它们之间相对距离继续缩小)。兔子想追上乌龟必须到达A3点,可是乌龟已经爬到A4点……这样下去,兔子和乌龟之间的距离会越来越小,也就是,一直跑下去,兔子和乌龟之间的距离会达到无穷小,但是,兔子无论如何也追不上乌龟。

可以看到,这个悖论在逻辑上是没有问题的,那么究竟是什么在出问题呢?经过分析可以发现,这个问题的关键就在于:无限小是不是有尽头?兔子和乌龟之间的相对距离会随着运动变成无限小,但是只有这个相对距离变成0,兔子才能够追上乌龟, 否则它们之间就隔着一道正无限小的鸿沟。可是在现实之中,兔子追上了乌龟(兔子速度大于乌龟),那么在数学的理想模型中,正无限小是否有个尽头呢?

为了更加清晰地理解和研究这个问题,不妨取一些特殊值来进行计算。例如:

如果兔子和乌龟之间的距离是8m,兔子的速度是2m/s,乌龟的速度是1m/s。

按照悖论的逻辑,它们的运动过程是这样:兔子跑完8m用了4s,在这4s中,乌龟又爬了4m。等到兔子跑完4米用了2秒,乌龟又爬了2米……

乌龟的起点在A1。兔子的起点在B。兔子和乌龟的距离为8米,随着时间推移,兔子和乌龟的距离不断减小:

4m、2m、1m、1/2 m、1/4 m、1/8 m ……

那么,可以看出兔子所跑过的距离一共为S1=8+4+2+1+ 1/2+1/4 +1/8…… …… 。同时,乌龟走过的距离一共为S2=4+2+1+ + +…… …… 这两个涉及无限的式子很难处理,如何计算出它们的值呢?

如果我们越过这个无限小,而采用间接的方法来求是极其简单的:假设乌龟不动,兔子与乌龟的相对速度为1m/s,那么兔子追上乌龟只需要8s。也就是说,8秒以后,兔子跑了16米,乌龟爬了8米,那么兔子就追上了乌龟。

也就是说,兔子是可以追上乌龟的,这个无限小的距离最后被越过了!这就要求,从数学角度来说,一个无限小的正数在某个条件下最终能够取到0,这个正无限小的运动必须有个极限!而这个极限就是1/0再来看一看上面式子,它是一个公比为1/2的等比数列的无限项的和。按照我的理论,无限持续下去就可以达到极限,这里一共有1/0项,最后一项为0。S1=8+4+2+1+1/2+ 1/4+…… ……+0。既然知道了首项,公比和项数,那么就可以使用等比数列求和公式来计算了。

通过计算结果可以知道,只要承认了1/0的存在,就可以引用极限概念从数学角度解决这个悖论。同时,这将对数学概念产生极大的影响。一个正无限小的趋势,运行到极限时,就可以取到0。而无限大和无限小运行到极限时,就都会变成一个极限数。这个观念如果得到承认,将是一个理念上的巨大突破。

同时,从物理意义来说,这也启示我们:物质的分割是有一个尽头的,在分到极限时,可以将物质分到虚无,它是不存在,就是一种特殊的存在状态。人们在分割物质的时候没有能力分到极限,但这并不意味着在自然之中的运动和变化无法达到极限。在这个龟兔赛跑的悖论中,运动达到了极限,最终使这个无限小运动到了0,使兔子追上了乌龟。

注:

这个悖论来自于“芝诺悖论”。

 
 
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