希尔伯特方案
希尔伯特方案
希尔伯特在20世纪20年代提出的用以证明数学的协调性的一个特定的方案。数学中在使用反证法时需要肯定数学的协调性;后来在发展非欧几何的过程中,需要证明非欧几何的协调性以便断定平行公设的独立性，即断定它不能由几何中别的公理推出，但非欧几何只是数学的一个部门而且是新发展的部门，即使它的协调性受到怀疑，仍无碍于整个古典数学的协调性。等到人们依次地把非欧几何的协调性化归于欧几里得几何的协调性，再化归于实数论、自然数论，最后化归于集合论的协调性，而同时又发现素朴集合论有矛盾、不协调以后，数学的协调性问题就成为一个重大问题了。严格公理集合论虽然可以排除已被发现的' 论，但还不能保证数学理论里不再出现逻辑矛盾。要想彻底解决数学的协调性问题，用化归方法是不够的，因为这只能得到相对的协调性，而集合论的协调性不能再化归于其他理论。同时希尔伯特认为在物理世界里也找不到集合论里各种超穷集合的模型，因此，只有从事直接协调性证明才能得出真正的协调性。于是，他便提出其有名的方案。
希尔伯特方案首先要求把数学完全形式化，列出基本概念、公理以及基本推理规则，而且必须列举详尽无遗,使得数学中一切概念都可以从基本概念定义出来,各概念一切性质也都可以从公理与基本推理规则推出，因而不必再借助于任何直觉、任何图形。这样一来，基本概念可以是任何满足公理与基本推理规则的东西，从而可以把它们看作变元，进而把它们看作表示这些变元的符号,公理不外是由一些符号所组成的符号系列,基本推理规则不外是一些对这些符号系列加以变换的变形规则。如果在一理论中能够推出两个互相否定（互相矛盾）的符号系列来，这理论便叫做不协调的。这样，只要能够证明从作为数学公理的那些符号系列出发，并根据作为数学的基本推理规则的变形规则加以改变，而且无论如何也变换不出表示互相矛盾的两个命题的符号系列，那么数学的协调就可以被证明。
希尔伯特方案回答了当自然数以及逻辑概念都在探讨考察之列、它们的协调性都有待审查时，能用什么去探讨、研究的问题。它认为，符号系列是具体的有限的东西，由推理规则所反映的变换是对具体的符号进行的变换，所以也是具体的有限的动作，是只对具体的有限的东西所进行的具体的有限的动作。这样便可以限于有穷主义，而有穷主义的结果是随时可以被验证的，因此其结果的协调性是无容置疑的。希尔伯特方案中的有穷主义论证与数学中一般推理过程的最大不同，在于对待全称量词‘‘所有的 ’’以及存在量词‘‘有的 ’’的论证上。片 ( )指‘‘所有的 使得A( )成立’’，但一般说来， ‘‘所有的 ’’并不能都拿来一一验证,看它是不是使A( )成立。到底根据什么断定片 ( )为真’’？办法是,取一个变元 它既不被假定有任何性质，也不被假定有任何特殊结构，只是一般的 。如果对于这个变元 而证明了A( ),那么就可以断定片 ( )。不过有穷主义对通常的论证，如对‘‘找不出使A( )成假的 ，所以片 ( )’’这类用反证法立论的论证是不承认的。有穷主义也不承认这样一种论证， ‘‘反设每个 》使得A( )为假,（推导下去）将导致矛盾，故不可能每个 》非A( )，于是至少有一个 A( )为真’’。因为在有穷主义看来,‘‘从片A( )可导致矛盾’’这个事实，并没有给出具体的使为的 ，也没有给出寻找这个 的方法。根据有穷主义的要求证明掣 ( )，是给出一个使得A( )成立的 。如果这个难马上给出，至少也要给出一个寻找这个 的办法如果真的能够用有穷主义的论证证明形式化的数学是协调的，那么形式化数学的协调性便得以建立。因为有穷主义论证本身的协调性应该是没有疑问的，所以数学协调性的直接证明也可以说没有疑问的。
希尔伯特方案提出后不久，德国数学家W.阿克曼于1924年证明，如对数学归纳法稍作限制则自然数论是协调的。但K.哥德尔1931年却证明，只用可以表示于内容相当丰富的数学系统S之内的理论，绝不能证明系统S的协调性。而希尔伯特方案要求的有穷主义论证是可以表述于自然数论之内的。这就表明，纯粹使用有穷主义论证决不能证明自然数论的协调性，更不能证明整个数学的协调性。于是，希尔伯特方案最终宣告破产。后来的研究逐渐把有穷主义的要求放宽，继续探讨各理论系统的协调性以及和证明有关的各种性质，从而形成了证明论。