增根

数学专用术语1定义：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根。

2产生增根的来源：

（1）分式方程

（2）无理方程

3分式方程增根介绍：

在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的根使最简公分母为0，那么这个根叫做原分式方程的增根。

增根的产生的原因：

对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。

举一个实例

X-2 16 X+2

—— - —— = ——

X+2 X^2-4 X-2

解: (X-2)^2-16=(X+2)^2

X^2-4X+4-16=X^2+4X+4

X^2-4X-X^2-4X=4+16-4

-8X=16

X=-2

但是X=-2使X+2和X^2-4等于0,所以X=-2是增根

分式方程两边都乘以最简公分母化分式方程为整式方程，这时未知数的允许值扩大，因此解分式方程容易发生増根。为了在解方程时排除增根，解完整式方程后，要检验。通常是把整式方程的解代入最简公分母中，若最简公分母的值不为0，则此解是分时方程的解，若最简公分母的值为0，则此解是增根。

例如: 设方程 A(x)=0 是由方程 B(x)=0 变形得来的,如果这两个方程的根完全相同(包括重数),那么称这两个方程等价.如果 x=a 是方程 A(x)=0 的根但不是B(x)=0 的根,称 x=a 是方程的增根;如果x=b 是方程B(x)=0 的根但不是A(x)=0 的根,称x=b 是方程B(x)=0 的失根.

如何求增根

解分式方程时什么情况下会产生增根

学生在解一个方程时，如果出现了增根，往往是由于违反了方程的同解原理或对方程变形时粗心大意造成的。

1. 如果不遵从同解原理，即使解整式方程也可能出现增根．例如将方程x－2=0的两边都乘x，变形成x（x－2）=0，新方程就比原方程多出一个根x=0．这是因为在方程两边都乘了一个x，这相当于用0乘以原方程的两边（0适合于新方程），而这是违反同解原理的。

2. 解分式方程时，去分母不一定会出现增根。在将一个分式方程变形时，往往先将它化为整式方程，于是在分式方程的两边都乘以各分母的最低公倍式，这样可能不违反同解原理，也可能违反同解原理，如将方程两边都乘以x，变形成x－2=1，新方程有一个根x=3，它也是原方程的根。x=3不是原方程的增根，这是因为在方程两边乘的x，是一个相当于3的非零数，这样做没有违反同解原理。

判别增根，只要通过把新方程的根代入去分母时在原方程两边所乘的最简公分母，看其是否为0，是0即为增根。