三线合一
定义等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角平分线相互重合。
前提：在等腰三角形或等边三角形中！
证明等腰三角形ABC(设AB=AC)
1.底边上的中线推底边上的高线和顶角平分线
.∵AB=AC ∴∠B=∠C
又∵BD=DC，AD=AD
∴△ADB≌△ADC
可得∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC
∴AD⊥BD,AD平分∠BAC
其余两个推广结论证明与之类似，不重复。
应用1.∵AB=AC,BD=DC=1/2BC
∴AD⊥BD,AD平分∠BAC
2.∵AB=AC,AD⊥BD
∴BD=DC=1/2BC,AD平分∠BAC
3.∵AB=BC,AD平分∠BAC
∴AD⊥BD,BD=DC=1/2BC
逆定理① 如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。
② 如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
③ 如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
总而言之：在一个三角形中，一边上的高线与此边上的中线，及此边对角角平分线中任意两线重合可推知此三角形为等腰三角形。
（注意：其中一边上的中线与此边对角角平分线重合推证等腰三角形，可应用正弦定理，或过此边中点作另外两边垂线。）