赌徒输光定理

概率论所提供的有趣定理：

在“公平”的赌博中，任一个拥有有限赌本的赌徒，只要长期赌下去，必然有一天会输光。

在一次赌博中，任意一个赌徒都有可能会赢。谁输谁赢是偶然的。但只要一只赌下去，输光却是必然的。

赌徒输光定理在现实生活中有许多应用，如“姓氏消亡”，“线粒体夏娃假说”等，在此不做赘述。

原因假设赌徒的初始资金是n，每赌一次或输或赢，资金分别变为n+1和n-1。求一直

赌下去资金变为0的概率是多少？假设从n开始一直赌下去变为0的概率是T(n).

那么我们有：

T(0) = 1

T(n) = ( T(n-1) + T(n+1) )/2, 对n > 0.

这第二个式子相当于数n有一半机会变成n-1，一半机会变成n+1。

那么变换一下相当于T(n+1) = 2T(n)-T(n-1)。

设T(1)的值为a, 那么显然0< a<=1。利用T(n+1) = 2T(n)-T(n-1)

T(1) = a

T(2) = 2a - 1

T(3) = 2(2a-1) - a = 3a - 2

T(4) = 4a - 3

...

T(n) = na - n + 1.

我们知道T(n) >= 0对于任意的n成立。所以a必须为1.

所以我们证明了T(1) = 1. 同样的过程可以得到T(2) = 1, ...,

一直下去，T(n) = 1. 证毕。

这个证明过程并不是很容易想到（本人没看过参考资料，全是自己想的，但数

学理论界肯定早有这样的结果了），但绝不是特别难的东西。

这样，我们得到了一个有些违背直觉的结论：无论你有多少钱，你用50%的概率

赌下去，“久赌必输”。有些赌徒会一次押多些，不是一次1单位，但我们并不

难认同，这只会改变输的方式，只要是50%的概率，最后总是输光的