FFT
FinalFantasyTactics(FFT)中文名称：最终幻想战略版（FFT）
游戏主机：PS
制作厂商：Square Enix
游戏类型：策略角色扮演类（S●RPG）
汉化小组：天幻汉化组
汉化程度：完整汉化版
发布日期：1997/6/20（PS日版）1998/1/29（PS美版）
尘封的历史被打开，历史学家带你走进伊法利斯大陆的过去。
在战乱纷争的年代，有两个少年改变了历史。一个是智慧过人的迪利塔，一个是伸张正义的拉姆萨。他们在贵族挑起的不义之战中寻求真理，却发现曾经信任的长者，手中却握着名曰圣石的宝物，一个个变成了面目狰狞的野兽，也许这就是他们高贵权杖和华丽长袍下的本质。你不能要求一个少年在这样的环境下一尘不染，迪利塔的善良在吉克丹城砦被炸得灰飞烟灭，平民出身的孩子发誓要改写历史，要用尽他的智慧去践踏他所厌恶的贵族。而拉姆萨虽然经历一系列惨烈之事，却依然坚守信仰，为自己的亲人战斗到最后。
这就是命运，当坐在草地上吹着树叶的两个少年，最终走上了完全不同的人生道路，你会发现竟似曾相识。这是游戏也好，这是历史也好，这就是最终幻想战略版：Final Fantasy Tactics。
FFT即为快速傅氏变换，是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。
设x(n)为N项的复数序列，由DFT变换，任一X（m）的计算都需要N次复数乘法和N-1次复数加法，而一次复数乘法等于四次实数乘法和两次实数加法，一次复数加法等于两次实数加法，即使把一次复数乘法和一次复数加法定义成一次“运算”（四次实数乘法和四次实数加法），那么求出N项复数序列的X（m）,即N点DFT变换大约就需要N^2次运算。当N=1024点甚至更多的时候，需要N2=1048576次运算，在FFT中，利用WN的周期性和对称性，把一个N项序列（设N=2k,k为正整数），分为两个N/2项的子序列，每个N/2点DFT变换需要（N/2）^2次运算，再用N次运算把两个N/2点的DFT变换组合成一个N点的DFT变换。这样变换以后，总的运算次数就变成N+2（N/2）^2=N+N^2/2。继续上面的例子，N=1024时，总的运算次数就变成了525312次，节省了大约50%的运算量。而如果我们将这种“一分为二”的思想不断进行下去，直到分成两两一组的DFT运算单元，那么N点的DFT变换就只需要Nlog(2)(N)次的运算，N在1024点时，运算量仅有10240次，是先前的直接算法的1%，点数越多，运算量的节约就越大，这就是FFT的优越性。
DFT算法For length N input vector x, the DFT is a length N vector X,
with elements
N
X(k) = sum x(n)*exp(-j*2*pi*(k-1)*(n-1)/N), 1 <= k <= N.
n=1
The inverse DFT (computed by IFFT) is given by
N
x(n) = (1/N) sum X(k)*exp( j*2*pi*(k-1)*(n-1)/N), 1 <= n <= N.
k=1
---在C环境下的源码
// 快速傅立叶变换
// 入口参数：
// l: l=0, 傅立叶变换;l=1, 逆傅立叶变换
// il: il=0,不计算傅立叶变换或逆变换模和幅角；il=1,计算模和幅角
// n: 输入的点数，为偶数，一般为32，64，128，...,1024等
// k: 满足n=2^k(k>0),实质上k是n个采样数据可以分解为偶次幂和奇次幂的次数
// pr[]: l=0时，存放N点采样数据的实部
// l=1时, 存放傅立叶变换的N个实部
// pi[]: l=0时，存放N点采样数据的虚部
// l=1时, 存放傅立叶变换的N个虚部
//
// 出口参数：
// fr[]: l=0, 返回傅立叶变换的实部
// l=1, 返回逆傅立叶变换的实部
// fi[]: l=0, 返回傅立叶变换的虚部
// l=1, 返回逆傅立叶变换的虚部
// pr[]: il=1,i=0 时，返回傅立叶变换的模
// il=1,i=1 时，返回逆傅立叶变换的模
// pi[]: il=1,i=0 时，返回傅立叶变换的辐角
// il=1,i=1 时，返回逆傅立叶变换的辐角
void fft(double pr[], double pi[], int n, int k, double fr[], double fi[], int l, int il){
int it,m,is,i,j,nv,l0;
double p,q,s,vr,vi,poddr,poddi;
for(it=0;it<=n-1;m=it++){
is=0;
for(i=0;i<=k-1;i++){
j=m/2;
is=2*is+(m-2*j);
m=j;
}
fr[it]=pr[is];
fi[it]=pi[is];
}
//----------------------------
pr[0]=1.0;
pi[0]=0.0;
p=6.283185306/n;
pr[1]=cos(p);
pi[1]=-sin(p);
if (l)
pi[1]=-pi[1];
for(i=2;i<=n-1;i++){
p=pr[i-1]*pr[1];
q=pi[i-1]*pi[1];
s=(pr[i-1]+pi[i-1])*(pr[1]+pi[1]);
pr=p-q;
pi=s-p-q;
}
for(it=0;it<=n-2;it+=2){
vr=fr[it];
vi=fi[it];
fr[it]=vr+fr[it+1];
fi[it]=vi+fi[it+1];
fr[it+1]=vr-fr[it+1];
fi[it+1]=vi-fi[it+1];
}
m=n/2;
nv=2;
for(l0=k-2;l0>=0;l0--){
m/=2;
nv<<=1;
for(it=0;it<=(m-1)*nv;it+=nv)
for(j=0;j<=(nv/2)-1;j++){
p=pr[m*j]*fr[it+j+nv/2];
q=pi[m*j]*fi[it+j+nv/2];
s=pr[m*j]+pi[m*j];
s*=(fr[it+j+nv/2]+fi[it+j+nv/2]);
poddr=p-q;
poddi=s-p-q;
fr[it+j+nv/2]=fr[it+j]-poddr;
fi[it+j+nv/2]=fi[it+j]-poddi;
fr[it+j]+=poddr;
fi[it+j]+=poddi;
}
}
if(l)
for(i=0;i<=n-1;fr/=n,fi[i++]/=n);
if(il)
for(i=0;i<=n-1;i++){
pr=sqrt(fr*fr+fi*fi);
if(fabs(fr)<0.000001*fabs(fi))
pi=fi*fr>0?90.0-90.0;
else
pi=atan(fi/fr)*360.0/6.283185306;
}
return;
}
---在C++环境下的源码
bool FFT(complex<double> * TD, complex<double> * FD, int r)
{
//一维快速Fourier变换。
//complex<double> * TD ——指向时域数组的指针; complex<double> * FD ——指向频域数组的指针; r ——2的幂数，即迭代次数
LONG count; // Fourier变换点数
int i,j,k; // 循环变量
int bfsize,p; // 中间变量
double angle; // 角度
complex<double> *W,*X1,*X2,*X;
count = 1 << r; // 计算Fourier变换点数为r左移一位
W = new complex<double>[count / 2];
X1 = new complex<double>[count];
X2 = new complex<double>[count]; // 分配运算所需存储器
// 计算加权系数（旋转因子w的i次幂表）
for(i = 0; i < count / 2; i++)
{
angle = -i * PI * 2 / count;
W[ i ] = complex<double> (cos(angle), sin(angle));
}
// 将时域点写入X1
memcpy(X1, TD, sizeof(complex<double>) * count);
// 采用蝶形算法进行快速Fourier变换
for(k = 0; k < r; k++)
{
for(j = 0; j < 1 << k; j++)
{
bfsize = 1 << (r-k);
for(i = 0; i < bfsize / 2; i++)
{
p = j * bfsize;
X2[i + p] = X1[i + p] + X1[i + p + bfsize / 2] * W[i * (1<<k)];
X2[i + p + bfsize / 2] = X1[i + p] - X1[i + p + bfsize / 2] * W[i * (1<<k)];
}
}
X = X1;
X1 = X2;
X2 = X;
}
// 重新排序
for(j = 0; j < count; j++)
{
p = 0;
for(i = 0; i < r; i++)
{
if (j&(1<<i))
{
p+=1<<(r-i-1);
}
}
FD[j]=X1[p];
}
// 释放内存
delete W;
delete X1;
delete X2;
return true;
}
---在Matlab环境下的源码
function X=myfft(x)
%myfft函数 用递归实现
N=length(x);
t=log2(N);
t1=floor(t);
t2=ceil(t);
if t1~=t2; %若x的长度N不为2的整数次幂，则补0至最接近的2的整数次幂
x=[x zeros(1,2^t2-N)];
N=2^t2;
end
w0=exp(-j*2*pi/N);
X=zeros(1,N);
if N==2
X(1)=x(1)+x(2);
X(2)=x(1)-x(2);
else
n=1:N/2;
xe(n)=x(2*n-1);
xo(n)=x(2*n);
XE=myfft(xe); %递归调用
XO=myfft(xo);
for n=1:N/2
X(n)=XE(n)+XO(n)*(w0^(n-1));
X(n+N/2)=XE(n)-XO(n)*(w0^(n-1));
end
end