倍立方问题

倍立方问题传说中，这问题的来源，可追溯到西元前429年，一场瘟疫袭击了西腊第罗斯岛(Delos)，造成四分之一的人口死亡。岛民们推派一些代表去神庙请示阿波罗的旨意，神指示说：要想遏止瘟疫，得将阿波罗神殿中那正立方的祭坛加大一倍。人们便把每边增长一倍，结果体积当然就变成了8倍，瘟疫依旧蔓延；接著人们又试著把体积改成原来的2倍，但形状却变为一个长方体……第罗斯岛人在万般无奈的情况下，只好鼓足勇气到雅典去求救於当时著名的学者柏拉图。 开始，柏拉图和他的学生认为这个问题很容易。他们根据平时的经验，觉得利用尺规作图可以轻而易举地作一个正方形，使它的面积等于已知正方形的2倍，那么作一个正方体，使它的体积等于已知正方体体积的2倍，还会难吗?结果，……但是，柏氏门徒当时倒有两件差点成功的作法： 注：『求体积是稜长 a 的立方体的2倍的立方体』，这问题可以转化为『求在 a 与 2a 之间插入二数x,y,使 a,x,y,2a 成等 比数列』 即 a：x＝x：y＝y：2a 故x2 ＝ay , y2＝2ax , xy＝ 2a2从而 x3＝a(xy)＝a(2a2) , 故 x3＝2a3 则 稜长 x 的立方体即为所求 。 1. 已知：线段 a 求作：对角线互相垂直的直角梯形ABCD，使得 , ( 则 ) 作法： 1. 作互相垂直的线M,线N,交点为O 2. 在M上取 ，在N上取 * 3. 取二曲尺，使一曲尺通过C点，且顶点在N上，另一曲尺通过D点，且顶点在M上， 且二尺的另一边互相密合，如此，便分别在M,N上产生A,B点，则四边形ABCD之 即为所求 讨论：应用原理为 a：x＝x：y＝y：2a 2. 已知：线段 a 求作：线段x,y，使得a：x＝x：y＝y：2a 作法： 1. 作互相平形且距离为2a的直线M,N *2. 在M,N之间，夹著三个全等的直角三角板，使 他 们的一个直角边与M密合，相对顶点在N上 *3. 固定最左边的一个三角尺，且在最右边的一个 三角尺股 上取 *4. 滑动右边及中间的三角尺，使每个三角尺的斜边与相邻三角尺股交点(R及S)与E,Q 共线，则 即为所求 3. [以下是西元前350年希腊数学家梅内克缪斯Menaechmus)的作法] 已知：线段 a 求作：线段x,y，使得a：x＝x：y＝y：2a 作法： *1. 作抛物线 [其中顶点(0,0)，对称轴y轴，过(a,a)] *2. 作抛物线[其中顶点(0,0)，对称轴x轴，过( ,a)] ¸ 二抛物线交於P点 3. 过P作 ，则 即为所求 4. [西元前150年戴可利斯(Diocles)发明一种蔓叶线(cissoid) ,此为三次曲线，它可解倍立方问题 作法：1. 是圆O内互相垂直的直径 2. E点在弧BC上，Q点在弧BD上，并满足 *3. 作 於H，交 於P，(P点的轨迹就是蔓叶线) 4. 则 讨论：应用原理为 a：x＝x：y＝y：2a