可测函数

设是定义在可测集E上的实函数。如果对每一个实数，集E[f>a]恒可

测（勒贝格可测），则称是定义在 E上的（勒贝格）可测函数

定理设是定义在可测集E上的实函数，下列任一个条件都是在Ｅ上（勒贝格）

可测的充要条件：

（1） 对任何有限实数a，E[f>=a]都可测；

（2） 对任何有限实数a，E[f<a]都可测；

（3） 对任何有限实数a，E[f=<a]都可测；

（4） 对任何有限实数a,b，E[a=<f<b]都可测

设(X,F)为一可测空间，E是一个可测集。f: E→R*为定义在E上的函数。若对任意实数a，总有{x∈E: f(x)<a}∈F，则称f为E上的F-可测函数（简称E上的可测函数）。

特别地，若可测空间取为是R^n上的Lebesgue可测空间。E是R^n中的Lebesgue可测集。则E上的可测函数成为Lebesgue可测函数。若可测空间取为R^n上的Borel可测空间，E是R^n中的Borel集，则E上的可测函数称为Borel可测函数。