波动方程
波动方程或称波方程是一种重要的偏微分方程，它通常表述所有种类的波，例如声波，光波和水波。它出现在不同领域，例如声学，电磁学，和流体力学。波动方程的变种可以在量子力学和广义相对论中见到。
历史上，象乐器那样的振动弦问题曾被很多科学家研究，包括达朗贝尔，欧拉，丹尼尔·伯努利，和拉格朗日。
对于一个标量quantity u的波动方程的一般形式是：
{ partial^2 u over partial t^2 } = c^2
abla^2u
这里c通常是一个固定常数，也就是波的传播速率(对于空气中的声波大约是330米/秒, 参看音速)。对于弦的振动，这可以有很大的变化范围：在螺旋弹簧上（slinky），它可以慢到1米/秒。但若c作为波长的函数改变，它应该用相速度代替：
v_mathrm = frac{omega}.
注意波可能叠加到另外的运动上（例如声波的传播在气流之类的移动媒介中）。那种情况下，标量u会包含一个马赫因子[1](对于沿着流运动的波为正，对于反射波为负)。
u = u(x,t), 是振幅,在特定位置x和特定时间t的波强度的一个测量。对于空气中的声波就是局部气压，对于振动弦就使从静止位置的位移。
abla^2 是相对于位置变量x的拉普拉斯算子。注意u可能是一个标量或向量。
对于一维标量波动方程的一般解是由达朗贝尔给出的： u(x,t) = F(x-ct) + G(x+ct) 其中F和G为任意函数，分别对应于前进行波，和后退行波。要决定F和G必须考虑两个初始条件：
u(x,0)=f(x)
u_{,t}(x,0)=g(x)
这样达朗贝尔公式变成了:
u(x,t) = frac{f(x-ct) + f(x+ct)} + frac int_^{x+ct} g(s) ds
在经典的意义下，如果f(x) in C^k并且g(x) in C^则u(t,x) in C^k.
一维情况的波动方程可以用如下方法推导：想象一个质量为m的小质点的队列，互相用长度h的弹簧连接。弹簧的硬度为k :
这里u (x)测量位于x的质点偏离平衡位置的距离。对于位于x+h的质点的运动方程是：
m{partial^2u(x+h,t) over partial t^2}= kLINK
其中u(x)的时间依赖性变成显式的了。