二次剩余
quadratic residue
数论基本概念之一。若a、m的最大公约数为1〔记为(a，m）＝1〕，m整除（x^2－a）〔记为x^2≡ a（mod m）〕有解，则称a为模m的二次剩余（或平方剩余）； 否则，称a为模m二次非剩余（或平方非剩余）。解一般二次同余式ax2＋bx＋c≡0（mod m）的问题可归结为解x^2≡n（mod m）问题（见同余）。欧拉给出了判别条件：若p是奇素数，（a，p）＝1，则a是模p的二次剩余的充分必要条件为a ^ (( p - 1) / 2)≡1（mod p ）；a是模p的二次非剩余的充分必要条件为a ^ (( p - 1) / 2)≡-1（modp)。称｛k｜0＜k≤m，（k，m）＝1｝为m的 简化剩余系。显然当m是奇素数p时，其简化剩余系令p－1个数 。若p是奇素数，a是整数，令
称为勒让德符号。若p，q为不同的奇素数，则
，
称为二次互反定律。它是初等数论中非常重要的结果，不仅可用来判断二次同余式是否有解，还有很多用途。C.F.高斯称它为算术中的宝石，他一人先后给出多个证明。
在数论中，特别在同余理论里，一个整数 X 对另一个整数 p 的二次剩余（英文：en:Quadratic residue）指 X 的平方 X2 除以 p 得到的余数。
当对于某个d及某个X，式子 X^2 equiv d pmod{p} 成立时，称“d是模p的二次剩余”
当对于某个d及某个X，X^2 equiv d pmod{p} 不成立时，称“d是模p的二次非剩余”