柯西—施瓦茨不等式
柯西—施瓦茨不等式
数学上，柯西—施瓦茨不等式，又称施瓦茨不等式或柯西—布尼亚科夫斯基—施瓦茨不等式，是一条很多场合都用得上的不等式，例如线性代数的矢量，数学分析的无穷级数和乘积的积分，和概率论的方差和协方差。不等式以奥古斯丁·路易·柯西(Augustin Louis Cauchy)，赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨(Hermann Amandus Schwarz)，和维克托·雅科夫列维奇·布尼亚科夫斯基(Виктор Яковлевич Буняковский)命名。
柯西—施瓦茨不等式说，若x和y是实或复内积空间的元素，那麼
<math>ig| langle x,y
angle ig|^2 leq langle x,x
angle cdot langle y,y
angle</math>。
等式成立当且仅当x和y是线性相关。
柯西—施瓦茨不等式的一个重要结果，是内积为连续函数。
柯西—施瓦茨不等式有另一形式，可以用范的写法表示：
<math> |langle x,y
angle| leq |x| cdot |y|, </math>。
证明
实内积空间的情形：
注意到y = 0时不等式显然成立，所以可假设<math>langle y,y
angle</math>非零。对任意<math> lambda in mathbb{R} </math>，可知
<math> 0 leq langle x-lambda y,x-lambda y
angle</math>
<math> = langle x-lambda y,x
angle - lambda langle x-lambda y,y
angle</math>
<math> = (langle x,x
angle - lambda langle x,y
angle)- lambda (langle x,y
angle - lambda langle y,y
angle)</math>
<math> = (|x|^2- lambda langle x,y
angle)- lambda (langle x,y
angle - lambda |y|^2)</math>。
现在取值<math> lambda = langle x,y
angle cdot |y|^{-2}</math>，代入後得到
<math> 0 leq |x| ^2 - langle x,y
angle^2 cdot |y|^{-2}</math>。
因此有
<math> ig| langle x,y
angle ig| leq |x| |y| </math>。
复内积空间的情形
证明类上。对任意<math> lambda in mathbb{C} </math>，可知
<math> 0 leq langle x-lambda y,x-lambda y
angle</math>
<math> = langle x-lambda y,x
angle - overlinelambda langle x-lambda y,y
angle</math>
<math> = (|x|^2 - lambda overline{langle x,y
angle}) - overlinelambda (langle x,y
angle - lambda |y |^2)</math>。
现在取值<math> lambda = langle x,y
angle cdot |y|^{-2}</math>，代入後得到
<math>0 leq |x|^2 - ig| langle x,y
angle ig|^2 cdot |y|^{-2}</math>，
因此有
<math> ig| langle x,y
angle ig| leq |x| |y| </math>。
特例
对欧几里得空间Rn，有
<math>left(sum_{i=1}^n x_i y_i
ight)^2leq left(sum_{i=1}^n x_i^2
ight) left(sum_{i=1}^n y_i^2
ight)</math>。
对平方可积的复值函数，有
<math>left|int f^*(x)g(x),dx
ight|^2leqint left|f(x)
ight|^2,dx cdot intleft|g(x)
ight|^2,dx</math>。
这两例可更一般化为赫尔德不等式。
在3维空间，有一个较强结果值得注意：原不等式可以增强至等式
<math>langle x,x
angle cdot langle y,y
angle = |langle x,y
angle|^2 + |x imes y|^2</math>。
[编辑]参见