高斯公式

高斯公式又叫高斯定理(或散度定理）：

矢量穿过任意闭合曲面的通量等于矢量的散度对闭合面所包围的体积的积分

它给出了闭曲面积分和相应体积分的积分变换关系，是矢量分析中的重要恒等式。是研究场的重要公式之一。

公式为： ∮F·dS=∫▽·Fdv ▽是哈密顿算符 F、S为矢量

高斯定理在物理学研究方面，应用非常广泛。

如：电场E为电荷q（原点处）在真空中产生的静电场，求原点外M（x,y,z)处的散度divE(M).

解：div(qR/(4πr^3)=0 R/r--为r的单位矢量，

本例说明静电场E是无源场。

应用高斯定理(或散度定理）求静电场或非静电场非常方便。特别是求静电场中的场强，在普通物理学中常用，这里就再举二例。

现在用高斯公式推导普通物理中的高斯定理，

设S内有一点电荷Q其电场过面积元dS的通量为

E·dS=Ecosθds

=Q/(4πε0r^2)* cosθds θ为(ds^r) ε0----真空中的 介电常数

显然cosθds为面元投影到以r为半径的球面的面积，在球体内，面元dS对电荷Q所张的立体角为dΩ= cosθds/r^2

故 E·ds= Q/(4πε0)dΩ

因此，E对闭合曲面S的通量为∮E·dS=Q/(4πε0) ∮dΩ=Q/ε0

场强学过普通物理的多数人都知道

下面用高斯公式来推导电荷守恒定律，设空间区域V,边界为封闭面S，通过界面流出的电流应等于体积V内电量的减小率，

即∮J·dS=-∫(dρ/dt)dV J,S ---矢量， dρ/dt--------- 这里为ρ对的偏导数(由于符号在这里用d来代替偏导的符号）

ρ-电荷密度

注：J=Ρv’ V’---为速度矢量

用高斯公式进行积分变换,

∮J·dS=∫▽·JdV

可得到电荷守恒定律的微分形式：▽·J+ dρ/dt=0，

此式称电流的连续性方程。