仿射几何学

仿射几何学

affine geometry

几何学的一个分支。平面仿射几何主要研究平面图形在仿射变换下不改变的性质。平面上的仿射变换可以看成是连续施行有限回两个平面之间的平行投影所得到的平面上点之间的一一对应，也可以说仿射变换是一个平行投影“链”。如图，由连续施行平面π到π1，π1 到π2，π2到π3，再从π3回到π′的共四次平行投影得到的平面π上点之间的对应，例如A，B，C的对应点为A′，B′，C′，这个对应就是平面π上的一个仿射变换。平面上的仿射变换由三对不共线的对应点完全确定。线段的长度和二直线的交角在仿射变换下一般都要改变。但共线三点A，B，C组成的两个有向线段AC和BC的量的比AC/BC（称为A ，B ，C 的简比）在仿射变换下是不改变的，它是仿射变换最基本的不变量。二直线平行这个性质在仿射变换下也不改变。平面上两个封闭图形的面积之比，在仿射变换下也是不变的。若一个图形经过仿射变换变成另一个图形，就说这两个图形是仿射等价的。所有的三角形都与正三角形仿射等价，所有的平行四边形都与正方形仿射等价，所有的椭圆都与圆仿射等价，所有的双曲线都与等轴双曲线仿射等价。在仿射几何中，互相仿射等价的图形是不加区别的。