差分约束系统

如果一个系统由n个变量和m个约束条件组成，其中每个约束条件形如xj-xi<=bk(i,j∈[1,n],k∈[1,m]),则称其为差分约束系统(system of difference constraints)。亦即，差分约束系统是求解关于一组变量的特殊不等式组的方法。

求解差分约束系统，可以转化成图论的单源最长路径问题。

观察xj-xi<=bk，会发现它类似最短路中的三角不等式d[v]<=d[u]+w[u,v]，即d[v]-d[u]<=w[u,v]。因此，以每个变量xi为结点，对于约束条件xj-xi<=bk，连接一条边(i,j)，边权为bk。我们再增加一个源点s,s与所有定点相连，边权均为0。对这个图，以s为源点运行Bellman-ford算法（或SPFA算法），最终{d[ i]}即为一组可行解。

bellman-ford算法伪代码：

for each v V do d[v] <-- 无限大; d[s] <-- 0

Relaxation

for i =1,...,|V|-1 do

for each edge (u,v) 属于 E do

d[v] <-- min{d[v], d[u]+w(u,v)}

Negative cycle checking

for each v 属于V do if d[v]> d[u] + w(u,v) then no solution