泊松定理
[英] Poisson theorem
Poisson 分配
考虑下列现象：每小时服务台访客的人数，每天家中电话的通数，一本书中每页的错字数，某条道路上每月发生车祸的次数，生产线上的疵品数，学生到办公室找老师的次数……。大致上都有一些共同的特征：在某时间区段内，平均会发生若干次「事件」，但是有时候很少，有时又异常地多，因此事件发生的次数是一个随机变数，它所对应的机率函数称为 Poisson 分配。
一个 Poisson 过程有三个基本特性：
(1) 在一个短时间区间 $Delta t$ 内，发生一次事件的机率与 $Delta t$ 成正比： $lambda Delta t$。
(2) 在短时间内发生两次以上的机率可以忽略。
(3) 在不重叠的时间段落里，事件各自发生的次数是独立的。
各位可以验证上述各种实际的例子，是不是相当符合 Poisson 过程的定义？
现令 P(k,T) 表示在时间区间 T 中发生 k 次事件的机率（注意 T 表示时间区间的长度，而不是绝对时间），由(1)(2)知 $P(1,Delta t)=lambdaDelta t$，且 $P(k,Delta t)=0$, $kgeq 2$。现将 T 分割成 N 个短时间区段 （即 $T=NDelta t$），利用 (3) 各时间区段出现之事件是独立的条件，可知
egin{eqnarray*} P(k,T)& approx & C^N_k (lambda Delta t)^k(1-lambdaDelta ... ...cdot frac{(1-frac{lambda T})^N}{(1-frac{lambda T})^k} end{eqnarray*}
固定 k，当 $N
ightarrowinfty$ 时
eginP(k,T)=frac{(lambda T)^k}{k!}e^{-(lambda T)} quad (mbox{... ...{MbQchar 41}} (1+frac{alpha})^N
ightarrow e^{alpha }) end
由上可知 Poisson 分配是二项分配 B(N,p,q) 的一种极限，其中 Np= 常数 $lambda T$，再让 $N
ightarrowinfty$。另外，我们通常将 $lambda T$ 记为 m，表示在时间区间 T 中，平均的发生次数（见下面习题）。
习题：
(1) 验证 $sum_{k=0}^{infty} P(k,T)=1$。
(2) 令 $P_X(k)=frac{m^k}{k!}e^$, $k=1,2,3,cdots$。求 E(X) 与 Var(X)。
(Ans. m, m.)
例.
一公司之电话通数大约每小时 20 通，求在 5 分钟内一通电话也没有的机率？每小时 20 通, 表示每分钟平均 $lambda =frac$ 通/分。因此在 5 分钟的时间区间中, 平均的电话通数为 $ m=lambda T= fracimes 5=frac$。所以
eginP(k);equiv;P(k,5);=;frac{(frac)^k}{k!} e^{-frac}, quad k=0,1,2,cdotsend
所以没有一通电话的机率 $P(0)= e^{-frac};approx; 0.19 $。有了 P(k)，我们可以回答许多类似的问题：在 5 分钟内有 4 通电话的机率是 $P(4)=frac{frac^4}{4!}e^{-frac}approx 0. 06$，大概每十六次才有一次。在 5 分钟内有超过 3 通电话的机率是
eginsum_{k=4}^{infty}frac{(frac)^k}{k!} e^{-frac... ...=0}^frac{(frac)^k}{k!} e^{-frac}approx 0.09end
经计算这个机率分配的期望值 $= frac$，标准差 $=sqrt{frac}approx 1.29$。右图是 P(k) 的图形，当然由于 $k= 0,1,cdots$，所以这只是部分图形。读者可与一般的二项分配的图形比较。
$E(X)=frac approx 1.67 ;sqrt{Var(X)}=sqrt{frac} approx 1.29$
例. 下表是 1910 年 Rutherford 观察放射性物质放射 α 粒子的记录，每次观察 7.5秒，共观察 2608 次。
粒子数 次数 频率 P(k)
0 57 0.022 0.021
1 203 0.078 0.081
2 383 0.147 0.156
3 525 0.201 0.201
4 532 0.204 0.195
5 408 0.156 0.151
6 273 0.105 0.097
7 139 0.053 0.054
8 45 0.017 0.026
9 27 0.010 0.011
$geq 10$ 16 0.006 0.007
$m=frac=3.87$
这里 P(k)=P(k,7.5)，其中 $P(k)= frac{m^k}{k!}e^$，m=3.87（见表最末栏），为 7.5 秒中 α 粒子放射之平均个数。可以看到，如果假设 α 粒子的放射是一 Poisson 过程，结果相当吻合。
例. 令一放射性物质在时间 t 时所含之放射性粒子总量为 N(t)，如果假设放射粒子是一 Poisson 过程，则在短时间 $Delta t$ 後，
eginN(t+Delta t)-N(t)=-(lambda Delta t)N(t) end
注意到 $(lambdaDelta t)N(t)$ 是一期望值的形式。所以
eginN'(t)approx frac{N(t+Delta t)-N(t)}{Delta t}=-lambda N(t) end
这可看成辐射定律的「证明」。
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．辐射定律
指数分配与排队理论
令 W 表示在 Poisson 过程中，由开始到第一次事件发生的时间（这是一随机变数）。由上节知
egin{eqnarray*} P(W>t)&=&P( mbox{{MaQchar 202}} [0,t] mbox{{MaQchar 50... ...t minus0.1pt{MbQchar 222}} ) \ &=&e^{-lambda t}, quad t>0 end{eqnarray*}
但
eginF_W(t)=P(Wleq t)=1-P(W>t) =1-e^{-lambda t} end
所以
eginf_W(t)=F_W'(t)=lambda e^{-lambda t}, quad t>0 end
这个机率分配称为指数分配。可计算得 $E(W)=frac{lambda}$，这就是第一次事件发生的平均时间。另外， $Var(W)=frac{lambda^2}$。
现在让我们讨论排队理论。排队的现象无所不在：买各种票、吃自助餐、超商、百货公司……等。顾客揣度「应该排那一服务柜台会比较快？」「到底还要排多久？」是城市生活的基本问题；相对的，商家也要盘算到底在何时要开几个窗口柜台才符合成本，探讨这个问题的数学理论通称为排队理论，而指数分配经常被用到排队理论，当作服务客人时间（这是一随机变数）的机率密度函数。
让我们假设某柜台，服务客人的平均时间为 μ，想像在服务结束後，柜员会亮灯请下一位客人进来，则亮灯的平均时间是 μ。若将「灯亮」视为一事件发生，则亮灯的过程近似于一 Poisson 过程。而且前面定义的 W 正好表示两次亮灯间的间隔。所以 W 的机率密度函数是指数分配：
eginf_W(t)=frac{mu}e^{-frac{mu}t},quad t>0 end
例.
现假设一柜台平均服务时间为 3 分钟，设等待时间的机率密度函数为
eginf_W(t)=frac e^{-frac}, t>0 end
(1)等候时间超过6分钟的机率是多少？
egin{eqnarray*} P(W>6)&=& int_^{infty}{frac e^{-frac}}dt = ... ...frac}ig)igvert _6^b \ &=& e^; approx ; 0.14 end{eqnarray*}
事实上，等候超过 T 分钟的机率是 $e^{-frac}$。
(2) 另一个合理的问题是，如果在我前面还有另一个客人，则我怎麼描述，我等待时间的机率分配呢？
令 W1 是第一个客人等待的时间，W2 是第一个客人开始被服务後，我所等待的时间，则 $W_1 ;sim; W_2; sim ; W $，而且总等待时间 U = W1+W2，另外显然 W1 与 W2 是互相独立的。所以我们的问题就是要计算 fU(t)，由309页例子的方法，可以计算得
eginf_U(t) = frac t e^{-frac},quad t>0 end
或者，如果将指数分配 fW(t) 想成是 $Gamma(1,frac)$ 分配，则此相当于
eginGamma(1,frac)+Gamma(1,frac) ;sim; Gamma(2,frac)qquad end
因此如果我们想知道总等候时间不超过 5 分钟的机率，则
egin{eqnarray*} P(Uleq5)&=& int_^{frac t e^{-frac}}dt ... ...0^5 + 3 int_0^5 e^{-frac} ; dt
ight)\ &approx& 0.5 end{eqnarray*}
有一半的机会。
(3) 如果前面有 n-1 个客人时，则可定义 $U=W_1+W_2+ cdots + W_n $，其中 Wi 彼此独立，由 Gamma 分配性质知 $U sim Gamma(n, frac)$，即
eginf_U(t); =; frac{3^n(n-1)!} t^e^{-frac}, quad t>0 end
这告诉我们 $Gamma(alpha, eta)$ 分配与排队理论的关系。我们将细节留作习题。
习题：
(1) 超级市场一服务员平均服务时间为 2 分钟，若用指数分配当作等候时间之机率分配，则机率密度函数是什麼？
(2) 如果他正开始服务一位客人，而你前面还有一位客人在等候，则你会等超过 6 分钟的机率是多少？
(3) 若服务员甲平均服务时间为 2 分钟，而服务员乙之平均服务时间为 3 分钟，如果你选择乙，你朋友选择甲，且一起开始接受服务，则你会比朋友快的机率是多少？（当然甲与乙的服务是相互独立的）你能给出一个一般的计算公式吗？