最小正周期

最小正周期的概念：

如果周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f（x）的最小正周期（minimal positive period）.例如，正弦函数的最小正周期是2π.

根据上述定义，我们有：

正弦函数是周期函数，2kπ（k∈Z且k≠0）都是他的周期，最小正周期是2π。

y=Asin(ωx+φ), T=2π/ω

函数f(x)±g(x)最小正周期的求法

一、定义法

例1求函数y＝｜sinx｜＋｜cosx｜的最小正周期.

解:∵ ＝｜sinx｜＋｜cosx｜

＝｜－sinx｜＋｜cosx｜

＝｜cos(x＋π/2)｜＋｜sin(x＋π/2)｜

＝｜sin(x＋π/2)｜＋｜cos(x＋π/2)｜

＝f(x+π/2)

对定义域内的每一个x，当x增加到x＋π/2时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是π/2.

二、公式法

这类题目是通过三角函数的恒等变形，转化为一个角的一种函数的形式，用公式去求，其中正余弦函数求最小正周期的公式为T＝2π/｜w｜ ，正余切函数T＝π/｜w｜．

例2求函数y＝cotx－tanx的最小正周期.

解：y＝1/tanx－tanx=(1－tanx^2)/tanx=2*(1－tanx^2)/(2tanx)＝2cot2x

∴T＝π/2

三、最小公倍数法

设f(x)与g(x)是定义在公共集合上的两个三角周期函数，T1、T2分别是它们的周期，且T1≠T2，则f(x)±g(x)的最小正周期T1、T2的最小公倍数，分数的最小公倍数＝T1,T2分子的最小公倍数/T1、T2分母的最大公约数

例3求函数y＝sin3x＋cos5x的最小正周期.

解：设sin3x、cos5x的最小正周期分别为T1、T2，则T1=2π/3,T2=2π/5 ，所以y＝sin3x＋cos5x的最小正周期T＝2π／1＝2π.

例4求y＝sin3x＋tan 的最小正周期.

解：∵sin3x与tan2x/5 的最小正周期是2π/3与5π/2,其最小公倍数是10π/1＝10π.

∴y＝sin3x＋tan2x/5的最小正周期是10π.

四、图象法

例5求y＝｜sinx｜的最小正周期.

解：由y＝｜sinx｜的图象

可知y＝｜sinx｜的周期T＝π.