超越数论
chaoyue shulun
超越数论
transcendental number theory
以超越数为研究对象的数论分支之一。全体复数可分为两大类：代数数和超越数。如一个复数是某个系数不全为零的整系数多项式的根，则称此复数为代数数。不是代数数的复数，叫做超越数。J.刘维尔开创了对超越数的研究，他发现无理代数数的有理数逼近的精密性有一个限度，借此他于1844年构造出历史上第一批超越数,例如[78-22]对=2,3,…都是超越数。早在1844年以前的一个世纪里，对无理数的研究已成为一个注意焦点。1744年,L.欧拉证明了自然对数的底e是无理数。1761年，J.H.朗伯证明了圆周率π是无理数。
1873年，C.埃尔米特证明了e是超越数,从而使超越数论进入一个新阶段。1882年,F.von林德曼推广了埃尔米特的方法，证明了 是超越数，从而解决了古希腊的“化圆为方”问题。
19世纪超越数论的最高成就,是林德曼-外尔施特拉斯定理:如果,,…,是两两不同的代数数，,，…,是非零代数数，则
[79-01](1)由此可以导出，如果，,…,在无理数域上线性无关，则[79-02]代数无关（即它们不适合任一其系数为有理数的多项式方程）。由(1)可知，如是非零代数数,则sin，cos，tan都是超越数；如是不等于0和1的代数数，则自然对数ln是超越数。
1900年,D.希尔伯特提出的23个问题中的第7问题是：如果是不等于0和1的代数数，是无理代数数，那么是否超越数？D.希尔伯特曾预言，这个问题的解决将迟于黎曼猜想和费马大定理。A.O.盖尔丰德于1929年证明了：若是不等于零和1的代数数,是二次复代数数，则是超越数,[kg2]特别地,[79-03]是超越数。P.O.库兹明于1930年把这个结果推广到是二次实代数数的情形,特别地,[kg2][79-04]是超越数。1934年,A.O.盖尔丰德和T.施奈德独立地对希尔伯特第7问题作出了肯定回答,此即所谓盖尔丰德-施奈德定理。由此可知，若是正有理数，则常用对数lg不是有理数，便是超越数；更一般地,对非零代数数,,,,若ln,ln在上线性无关,则
[79-05]
1966年A.贝克把这个结果推广到任意多个对数的情形,证明了下述重要结果:若,,…,是非零代数数，且ln,…,ln在上线性无关，则1,ln,…,ln在所有代数数所成的域上线性无关。其推论有:①若代数数的对数线性组合（其系数为代数数）不等于零，则必为超越数。②若,,…,,,,…,是非零代数数,则[79-06]是超越数。③若 ,,…,是不为0和1的代数数，,,…,是代数数,且1，,,…，在上线性无关，则[79-07]是超越数。A.贝克的理论还有定量形式，对数论许多分支有着重要应用。例如，第一次对几类很广的不定方程给出解的绝对值的有效上界，以及用以定出所有类数为 1和 2的虚二次域。前者是对于希尔伯特第10问题的肯定方面的实质性的贡献。1970年A.贝克获费尔兹奖。
代数数的有理逼近是超越数论的重要课题（见丢番图逼近）。由林德曼－外尔施特拉斯定理发展而成的西格尔-希德洛夫斯基理论,对于证明一类适合线性微分方程组的幂级数的值的代数无关性，建立了一般的方法。例如，令
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[79-14]若是异于负整数和[79-09]的有理数，则对于任何非零代数数，()和()代数无关。
超越数的测度理论是超越数论的又一个重要内容。1874年，G.康托尔引进了可数性的概念，而导致了“几乎所有”的实数（复数）都是超越数的结论。1965年，..普林茹克证明了K.马勒尔在1932年提出的猜想：对于几乎所有的实数任意的正整数 和正数，至多有有限多个次整系数多项式()，使得[79-10]其中是()的诸系数的绝对值的最大值。
超越数论的最新发展使用着来自交换代数、代数几何、多复变函数论、甚至上同调理论的方法，正处于活跃之时。许多著名问题,例如,沙鲁尔猜测：若复数,…,在[kg1]上线性无关,则由[79-11]在上生成的域的超越次数至少为，及其特例关于e和的代数无关性（甚或看来似乎容易得多的e＋的超越性），以及欧拉常数 [79-12]的超越性的猜测，至今都未解决。