动态归划
动态规划（dynamic programming），简称DP.
动态规划的基本概念
动态规划的发展及研究内容
动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality)，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。1957年出版了他的名著Dynamic Programming，这是该领域的第一本著作。
动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。
虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划(如线性规划、非线性规划)，只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。
多阶段决策问题
多阶段决策过程，是指这样的一类特殊的活动过程，问题可以按时间顺序分解成若干相互联系的阶段，在每一个阶段都要做出决策，全部过程的决策是一个决策序列。要使整个活动的总体效果达到最优的问题，称为多阶段决策问题。
决策过程的分类
根据过程的时间变量是离散的还是连续的，分为离散时间决策过程(discrete-time decision process)，即多阶段决策过程和连续时间决策过程(continuous-time decision process)；根据过程的演变是确定的还是随机的，分为确定性决策过程 (deterministic decision process)和随机性决策过程(stochastic decision process)，其中应用最广的是确定性多阶段决策过程。
动态规划模型的基本要素
一个多阶段决策过程最优化问题的动态规划模型通常包含以下要素：
1.阶段
阶段(step)是对整个过程的自然划分。通常根据时间顺序或空间特征来划分阶段，以便按阶段的次序解优化问题。阶段变量一般用k= 1,2,..,n表示。在例1中由A出发为k=1，由Bi(i=1,2)出发为k=2，依此下去从Di(i=1,2,3)出发为k=4，共n=4个阶段。在例2中按照第一、二、三、四季度分为k=1,2,3,4，共4个阶段。
2.状态
状态(state)表示每个阶段开始时过程所处的自然状况。它应该能够描述过程的特征并且具有无后向性，即当某阶段的状态给定时，这个阶段以后过程的演变与该阶段以前各阶段的状态无关，即每个状态都是过去历史的一个完整总结。通常还要求状态是直接或间接可以观测的。
描述状态的变量称状态变量(state variable)。变量允许取值的范围称允许状态集合 (set of admissible states)。用xk表示第k阶段的状态变量，它可以是一个数或一个向量。用Xk表示第k阶段的允许状态集合。在例1中x2可取B1，B2，X2={B1,B2}。
n个阶段的决策过程有n+1个状态变量，xn+1表示xn演变的结果，在例1中x5取E。
根据过程演变的具体情况，状态变量可以是离散的或连续的。为了计算的方便有时将连续变量离散化；为了分析的方便有时又将离散变量视为连续的。
状态变量简称为状态。
3.决策
当一个阶段的状态确定后，可以作出各种选择从而演变到下一阶段的某个状态，这种选择手段称为决策(decision)，在最优控制问题中也称为控制(control)。
描述决策的变量称决策变量(decision variable)。变量允许取值的范围称允许决策集合 (set of admissible decisions)。用uk(xk)表示第k阶段处于状态xk时的决策变量，它是xk的函数，用Uk(xk)表示了xk的允许决策集合。在例1中u2(B1)可取C1,C2,C3。
决策变量简称决策。
4.策略
决策组成的序列称为策略(policy)。由初始状态x1开始的全过程的策略记作p1n(x1)，即p1n(x1)={u1(x1),u2 (x2),...，un(xn)}。由第k阶段的状态xk开始到终止状态的后部子过程的策略记作pkn(xk)，即pkn(xk)={uk(xk),uk +1(xk+1),...，un(xn)}。类似地，由第k到第j阶段的子过程的策略记作pkj(xk)={uk(xk),uk+1(xk+ 1),...，uj(xj)}。对于每一个阶段k的某一给定的状态xk，可供选择的策略pkj(xk)有一定的范围，称为允许策略集合 (set of admissible policies)，用P1n(x1),Pkn(xk),Pkj(xk)表示。
5.状态转移方程
在确定性过程中，一旦某阶段的状态和决策为已知，下阶段的状态便完全确定。用状态转移方程(equation of state)表示这种演变规律，写作
在例1中状态转移方程为：xk+1=uk(xk)
6.指标函数和最优值函数
指标函数(objective function)是衡量过程优劣的数量指标，它是关于策略的数量函数，从阶段k到阶段n的指标函数用Vkn(xk,pkn(xk))表示，k=1,2,...,n。
能够用动态规划解决的问题的指标函数应具有可分离性，即Vkn可表为xk,uk,Vk+1 n 的函数，记为：
其中函数是一个关于变量Vk+1 n单调递增的函数。这一性质保证了最优化原理(principle of optimality)的成立，是动态规划的适用前提。
过程在第j 阶段的阶段指标取决于状态xj和决策uj，用vj(xj,uj)表示。阶段k到阶段n的指标由vj(j=k,k+1,..n)组成，常见的形式有：
阶段指标之和，即
阶段指标之积，即
阶段指标之极大(或极小)，即
这些形式下第k到第j阶段子过程的指标函数为Vkj(xk,uk,xk+1,...,xj+1)。可以发现，上述(3)-(5)三个指标函数的形式都满足最优性原理。在例1中指标函数为(3)的形式，其中vj(xj,uj)是边<xj,uj(xj)>的权（边的长度）,uj(xj)表示从xj出发根据决策uj(xj)下一步所到达的节点。
根据状态转移方程，指标函数Vkn还可以表示为状态xk和策略pkn的函数，即Vkn(xk,pkn)。在xk给定时指标函数Vkn对pkn的最优值称为最优值函数(optimal value function)，记作fk(xk)，即
其中opt可根据具体情况取max或min。上式的意义是，对于某个阶段k的某个状态xk，从该阶段k到最终目标阶段n的最优指标函数值等于从xk出发取遍所有能策略pkn所得到的最优指标值中最优的一个。
7.最优策略和最优轨线
使指标函数Vkn达到最优值的策略是从k开始的后部子过程的最优策略，记作pkn*={uk*,..un*},p1n*又是全过程的最优策略，简称最优策略(optimal policy)。从初始状态x1(=x1*)出发，过程按照p1n*和状态转移方程演变所经历的状态序列{x1*, x2*,..,xn+1*}称最优轨线(optimal trajectory)。