罗尔中值定理

罗尔（Rolle）中值定理

如果函数f(x)满足：

①在[a,b]上连续，

②在(a,b)内可导，

③f(a)=f(b)，

则至少存在一个ξ∈(a,b)，使得

f'(ξ)=0.

用罗尔中值定理证明:方程3ax^2+2bx-(a+b)=0在（0，1）内有实根.

设F(x)＝ax^3＋bx^2－(a+b)x，则F(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，F(0)＝F(1)＝0，所以由罗尔中值定理，至少存在一点ξ∈(0,1)，使得F'(ξ)＝0. F'(x)＝3ax^2＋2bx－(a+b)，所以3aξ^2＋2bξ－(a+b)＝0，所以ξ是方程方程3ax^2＋2bx－(a+b)＝0在（0，1）内的一个实根.

结论得证.