卡丹公式
卡丹公式
确定一般的三次方程的根的公式.
如果用现在的数学语言和符号,卡丹公式的结论可以借助于下面这样一种最基本的设想得出。
假如给我们一个一般的三次方程：
ax3+3bx2+3cx+d=0 （1）
如果令
x=y-b/a
我们就把方程（1）推导成
y3+3py+2q=0 （2）
其中 3p=c/a-b2/a2，2q=2b3/a3-3bc/a2+d/a 。
借助于等式
y=u-p/u
引入新变量u 。把这个表达式带入（2），得到：
（u3）2+2qu3-p3=0 （3）
由此得
u3=-q±√（q2+p3），
于是
y=3√（-q±√（q2+p3））-p/3√（-q±√（q2+p3）） 。
=3√（-q+√（q2+p3））+3√（-q-√（q2+p3）） 。
（最后这个等式里的两个立方根的积等于-p 。）
这就是著名的卡丹公式。
如果再由y转到x，那么，就能得到一个确定一般的三次方程的根的公式。
卡丹通晓数学，就像通晓一群质朴的人的风俗习惯那样容易。费拉里知道了三次方程的解法之后，确实过了不长时间，他就找到了四次方程的解法。正像费拉里在他和塔尔塔利亚争论时所宣称的那样，卡丹把这一方法写进自己的书里了。
这种方法是怎样得到的呢？我们在前面已经看到，利用并不复杂的代换可以把三次方程（3）归结为关于u3的二次方程（4）。费拉里现在去寻找把一般四次方程归结为一个三次方程的可能性，这是十分自然的。
设 ax4+4bx3+6cx2+4dx+e=0 （5）
是一个一般的四次方程。如果令
x=y-b/a
那么，方程（5）可以归结为
y4+2py2+2qy+r=0 （6）
其中p，q，r是一些取决于a，b，c，d，e的系数。容易看出，这个方程可以写成这样的形式：
（y2+p+t）2=2ty2-2qy+t2+2pt+p2-r （7）
确实，如果把括号打开，那么，所有含t的项互相抵消，我们就能回到方程（6）。
我们这样选取参数t，使方程（7）的右边是关于y的完全平方。众所周知，位于等号右边的（关于y的）三项式系数判别式为0，是这个完全平方的充分必要条件，
即： q2-2t（t2+2pt+p2-r）=0 （8）
我们得到了这样一个已经能解的一般的三次方程。求出它的任何一个根，并代入形为
（y2+p+t）2=2t（y-q/2t）2 的方程（9），由此得 y2±√（2t）y+p+t±q/√（2t）=0 。