鬼谷子问徒
本题为广为流传的一经典逻辑推理题目，原题如下：
孙膑，庞涓都是鬼谷子的徒弟。一天鬼谷子出了这道题目：
他从2到99中选出两个不同的整数，把积告诉孙，把和告诉庞；
庞说：我虽然不能确定这两个数是什么，但是我肯定你也不知道这两个数是什么。
孙说：我本来的确不知道，但是听你这么一说，我现在能够确定这两个数字了。
庞说：既然你这么说，我现在也知道这两个数字是什么了。
请问这两个数字是什么？为什么？
题目解答分析：
1、庞涓能确定孙膑肯定不知道这两个数，可以有这样几个推论。
(A)庞涓手上的数字是5-197之间的数字。
(B)庞涓的和数一定不能拆成两个质数之和，否则就不会有确信。这可以分解为两点：
庞涓手上不是偶数，只可能是奇数，因为任意大于4偶数能被拆成两个奇质数之和，这是由歌德巴赫猜想来保证；
并且庞涓手上的奇数不是2+质数。举例：如果庞涓手上是28，可以拆成11+17，当孙膑拿到了181这个积，
马上就可以猜出鬼谷子给他的两个数是11和17，与庞涓肯定孙膑不知道这两个数相矛盾，因此将所有偶数排除。
举例：当庞涓手上的数为质数+2时，例如21，而正好是19+2，那样孙膑手上的数是38，只有一种分解方法2*19，
因此孙膑同样一开始就能确定这两个数字。
(C)庞涓的和数一定不是大于53的奇数。因为大于53的奇数始终能够拆成偶数和53（是质数）的乘积，
这个乘积只能唯一的推断出53和该偶数的乘积，否则就要大于99了。另外97是质数，
同理应该排除97+2到97+98的所有奇数。最后剩下的是99+98的奇数，因为都是最大的数，
孙膑本来就可以推理出来，与孙膑本来不知道的前提相矛盾，自然排除了。
因此由此可以排除超过53以上的所有奇数。举例：如果庞涓手上的数字是59，那有一种可能是53+6，
当孙膑拿到318时也只有一种分解方式是53*6，因为106*3和159*2中的106和159都大于了99这个最大的数字，
因此这与孙膑事先不能肯定相矛盾。同理可以推理到195=97+98这中间的所有奇数都被排除，因为97是质数。
因此，当庞涓手上是53以上的奇数不会有这种把握孙膑肯定不知道这两个数。
(D)满足以上条件的这样的数字仅有10个：11，17，23，27，29，35，37，47，51，53。
2、孙膑知道自己手中的积，并说本来不知道，但现在知道了。意味着，
孙膑看了自己手上的积后分解因式对应的所有组合的和，只可能是上述10个数中的一个。
也就是10个和数拆开的乘积不于其他和数拆开乘积重合的才可能是孙膑的积。
从这句话可以得出能够相乘等于孙膑手上积的数里面，有且仅有一对是一奇一偶，别的都是两偶。所以由这个推论可以得出这个奇数肯定是个质数。而这个偶数肯定是只能被2整除（也就是说它是2的N次方）。也就是说鬼谷子选的两个数(假设是a,b，不分顺序)会满足 ：a是个质数 ， b是2的N次方（N是大于1的整数）。
这种积有许多种，关键是庞涓的第三句话。
3、庞涓是知道自己手中的和数，当孙膑说了这句话的时候，庞涓说也知道这两个数字了，
那庞涓手上的和数有一个特点，就是除一个例外的可能积，其他可能的积都无法满足前面所言，
否则庞涓没有这种自信。也就是在10个和数中找出积的数组合中只有唯一一对数可以满足前面的条件。
这时需要结合第二个条件，怎么利用这个条件呢？以17做为例子：
假设分解为3+14，那么积为52，而42=3*14=2*21=6*7，对应的和有17,23,13
而当中的17和23均为候选解，也就是说假如孙膑手上的数是42，他就无法知道正确的分解，
所以17不能分解为3+14。类似地可以构造以下这个可以满足第二条件的分解列表：
11的可能的分解：(4,7),(3,8),
17的可能的分解：(4,13),
23的可能的分解：(7,16),(4,19),
27的可能的分解：(11,16)(8,19)(4,23)
29的可能的分解：(13,16)
35的可能的分解：(16,19)(4,31),(3,32),
37的可能的分解：(8,29)(5,32),
41的可能的分解：(4,37)
47的可能的分解：(16,31)(4,43),
53的可能的分解：(16,37)
当中只有17，29，41，53有唯一可行的分解，所以庞涓才可能确定自己手上的数。
所以本问题的答案为（4，13）或者（13，16）或者（4，37）或者（16，37）
具体是哪一个，得看孙和庞手上的数了
下面是我用JAVA的求解过程： 作者（koolening）
class GuiGuZi {
public static void main(String [] args){
new GuiGuZi().locate();
}
public void locate(){
for(int i = 2;i<=53;i++){
if(i%2==0) continue;
if(!isPrimzahlenSum(i)) continue;
if(factoring(i)>0){
int a = factoring(i);
int b = i - a;
System.out.println("鬼谷子选的数是" + a + "和" + b);
}
}
}
public boolean isPrimzahlen(int a){ //检验是不是质数
if(a==2) return true;
for(int i=2;i<=(int)Math.sqrt(a);i++){
if(a%i==0) return false;
}
return true;
}
public boolean isPrimzahlenSum(int sum){ //检验两数之和能不能被分解为两个质数
for(int i=2;i<=99;i++){
if(isPrimzahlen(i))
for(int j=2; j<=99;j++){
if(i==j) continue;
if(isPrimzahlen(j)){
if((i+j)==sum)
return false;
}
}
}
return true;
}
public int factoring(int sum){ //检验是不是庞的数是不是能分解成 质数2的N次方，并且是不是唯一的
int count = 0;
int a = -1;
for(int i=2;i<sum-2;i=i*2){
if(isPrimzahlen(sum-i)) {
count++;
a = i;
}
}
if(count==1) return a;
else return -1;
}
}