正交拉丁方
两个n阶拉丁方在同一位置上的数依次配置成对时，如果这两个有序数对恰好各不相同（一般处理方法为把当中某些行或列对调）（这种相同即经过有限次旋转和镜像对称后不重合）。下面是两个互为正交的4阶拉丁方
(4.1)(3.3)(2.4)(1.2)
(2.2)(1.4)(4.3)(3.1)
(1.3)(2.1)(3.2)(4.4)
(3.4)(4.2)(1.1)(2.3)
已经证明，除2、6阶外，其他阶拉丁方都存在正交拉丁方。6阶的正交拉丁方源自于欧拉提出的三十六军官问题.
拉丁方与正交拉丁方组 1. 定义: (拉丁方)
A 为 n 乘 n 矩阵, 若 A 的每行,每列都恰好是 (1, 2, ..., n) 的一个置换,则称 A 是 n 阶拉丁方.
2. 定义: (正交拉丁方)
设 N={1,2,...,n}. 若 A=(a_{i,j}}, B=(b_{i,j}) 都是 n 阶拉丁方, 且满足:
{(a_{i,j}, b_{i,j}) : i=1..n, j=1..n} = N^2
则称 A, B 是正交拉丁方.
3. 定义: (正交拉丁方组)
{A_1, ..., A_k} 是 k 个 n 阶拉丁方, 若它们两两正交,则称它们是一个正交拉丁方组.
4. 定理: 若 A=(a_{i,j}), B 是正交 n 阶拉丁方. f 是 {1, 2, ..., n} 到自身的一个置换. 设 C={c_{i,j}} 使得:
c_{i,j}=f(a_{i,j}),
则 C, 仍是拉丁方,且 C, B 是正交拉丁方. 我们把 C 记为 f(A).
5. 设 S 是 n 阶正交拉丁方组, 则 |S|< n.
6. 定义: (饱和正交拉丁方组)
设 S 是 n 阶正交拉丁方组,若 |S|=n-1,则称 S 是饱和的.
7. 定理: 若 n 是素数方幂, 则存在饱和的 n 阶正交拉丁方组.
8. 定理: 设 {A_1,..., A_k} 是一个 n 阶正交拉丁方组,而 {B_1,..., B_k} 是一个 m 阶正交拉丁方组. 则在此基础上,可以构造出 mn 阶正交拉丁方组 {C_1,..., C_k}.
9. 设 n 有典范分解
p_1^{a_1} ... p_s^{a_s},
而 r = min {p_j^{a_j} : j=1..s}, 则存在 r 个正交的 n 阶拉丁方.