公共弦

基本概念当两个圆相交时，两个交点的连线叫公共弦。（若只有一个交点，则称公共点。）

公共弦方程两个圆若是相交，则至多交于2点。而将两圆的方程相减即是默认两条方程中有共同的解X、Y。而减后的方程必定满足X、Y（就是两个交点），换句话说，就是两个交点所共同满足的直线方程。而我们知道，平面内2点间有且只有1条直线，那么这条直线就是所求的公共弦。

相交两圆的公共弦所在的直线方程若圆C1：(x-a1)2+(y-b1)2=r12或x2+y2+D1x+E1y+F1=0

圆C2：(x-a2)2+(y-b2)2=r22或x2+y2+D2x+E2y+F2=0

则过两圆交点的直线方程为：(x-a1)2+(y-b1)2－(x-a2)2－(y-b2)2=r12－r22 或 (D1－D2)x+(E1－E2)y+F1－F2=0

这是“两相交圆方程相减得公共弦方程”的变式

设两圆分别为

x^2+y^2+c1x+d1y+e1=0 ①

x^2+y^2+c2x+d2y+e2=0 ②

两式相减得

（x^2+y^2+c1x+d1y+e1）-（x^2+y^2+c2x+d2y+e2）=0 ③

这是一条直线的方程

（1）先证这条直线过切点

设切点为(x0,y0)则满足①②

所以满足③

所以切点在直线③上

（2）再证圆与这条直线有且只有一个交点

设圆①上还有另外一点(x1,y1)在直线③上

（x1,y1与x0,y0不同时相等，也可以写作(x0-x1)^2+(y0-y1)^2≠0)

则(x1,y1)满足①③

所以(x1,y1)满足②

所以(x1,y1)是圆①和圆②的另一个交点

与两圆外切矛盾

所以圆与这条直线有且只有一个交点

综上所述，（x^2+y^2+c1x+d1y+e1）-（x^2+y^2+c2x+d2y+e2）=0

是两圆的切线