直线射影定理

直线射影定理（projection theorem of a right angle to a plane）

该定理是立体几何的重要定理之一。一直角在平面上的（正）射影为

直角的充分必要条件是：原直角至少有一边平行于该平面或在该平面内且

另一条边不与平面垂直。

已知:三角形中角A=90度,AD是高.

(1)用勾股证射影:因为

AD=AB-BD=AC-CD

∴2AD=AB+AC-BD-CD=BC-BD-CD=(BD+CD)-(BD+CD)=2BD×CD.故①AD=BD×CD.

运用此结论可得:②AB=BD+AD=BD+BD×CD=BD×(BD+CD)=BD×BC

③AC=CD+AD=CD+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB

.综上所述得到射影定理.

(2)用射影证勾股:∵AB=BD×BC ，AC=CD×CB

∴AB+AC=BD×BC+CD×CB=BC(BD+CD)=BC

射影定理的内容是在直角三角形中，每条直角边是这条直角边在斜边的射影和斜边的比例中项，斜边上的高线是两条直角边在斜边射影的比例中项