斯台瓦尔特定理

斯特瓦尔特(stewart)定理

设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有

AB^2·DC+AC^2·BD-AD^2·BC＝BC·DC·BD。

证明：在图2－6中，作AH⊥BC于H。为了明确起见，设H和C在点D的同侧，那么由广勾股定理有

AC^2=AD^2＋DC^2-2DC·DH，（1）

AB^2=AD^2+BD^2+2BD·DH。 （2）

用BD乘(1)式两边得

AC^2·BD=AD^2·BD+DC^2·BD-2DC·DH·BD，（1）′

用DC乘(2)式两边得

AD^2·DC=AD^2·DC＋BD^2·DC＋2BD·DH·DC。（2）′

由（1）′+（2）′得到

AC^2·BD+AB^2·DC=AD^2(BD＋DC)+DC^2·BD＋BD^2·DC

=AD^2·BC+BD·DC·BC。

∴AB^2·DC＋AC^2·BD-AD^2·BC=BC·DC·BD。