质数公式

王朝百科·作者佚名 2010-03-01

素（质）数公式

在公式A=(n-1)*(¦¦B2-1¦-(B2-1)¦)/2+2, 其中B=m(n+1)-(n!+1)中，m,n以自然数代入，所得的结果一定是素数。这就是自欧几里德在<<几何原本>>证明了素数是无限多个后，多少世纪以来人们一直所寻找的能写出所有素数的公式! 不难看出，A一定是整数，且有: 若B=0,有A＝n+1; 若B≠0, 有A=2. B≠0时，A已为素数，当B=0, 即m(n+1)-(n!+1)=0, 即m=(n!+1)/(n+1).在初等数论中有一著名的定理叫做"威尔逊定理", 可陈述为(n!+1)/(n+1)为整数的充要条件是n+1是素数。所以B=0时，m=(n!+1)/(n+1)为整数，故A＝n+1必为素数。

欧拉发现这样一个事实：a0+0=a1，a1+2=a2，a2+4=a3，a3+6=a4，a4+8=a5，....，a(n-1)+2(n-1)=an.，n=a0时是一个合数，其他都是素数。这样的数共有5个，它们是3，5，11，17，41。欧拉把最后一个编写成f(m)=㎡+m+41。.

第一个是3：a0=3，3+0=3=a1，3+2=5=a2，5+4=9=a3(是合数）；

第二个是5：a0=5，5+0=5=a1，5+2=7=a2，7+4=11=a3，11+6=17=a4，17+8=25=a5(是合数）；

第三个是11，a0=11，11+0=11=a1，11+2=13=a2，13+4=17=a3，17+6=23=a4，23+8=31=a5，31+10=41=a6，41+12=53=a7，53+14=67=a8，67+16=83=a9，83+18=101=a10，101+20=121=a11(是合数）；

第四个是17：ao=17，17+0=17=a1，17+2=19=a2，19+4+23=a3，23+6=29=a4，29+8=37=a5，37+10=47=a6，47+12=59=a7，59+14=73=a8，73+16=89=a9，89+18=107=a10，107+20=127=a11，127+22=149=a12，149+24=173=a13，173+26=199=a14，199+28=227=a15，

227+30=257=a16，257+32=289=a17(是合数）；

第五个是41：a0=41,，41+0=41=a1,，41+2=43=a2,，43+4=47=a3,，47+6=53=a4,，53+8=61=a5,，61+10=71=a6,，71+12=83=a7，.....，一直到a40都是

素数，a41是合数。但不知道是否只有5个这样的数。欧拉巧妙地把这种形式写成f(m)=㎡+m+a。当a=m+1时，,㎡+m+(m+1)=(m+1)^2.。所以最后一个都是平方数。

所有素数都可以用4K+1与4k+3表示，在给定数值范围，它们的数目交替领先，例如，在100以内，4K+3型的多一点。

当0<n<24160时，表达式：7013×2^n+1是合数，Buell和Young曾经猜想它们中间或者会有一个素数，然而，人们没有发现一个。

数78557×2^n+1总可以被3，5，7，13，19，37，73中至少一个数整除。

Riemann的Zeta函数对于REz>1由Dirichlet级数：

ξ（z)=Σ1/n*来定义。并且用解析开拓的方法把它延伸到复平面上其它的地方。只要这些地方能够被开拓。这些函数可以与素数联系，当*靠近10^10000时，才会有logloglogx=10.

公元前250年同样是古希腊的数学家埃拉托塞尼提出一种筛法：

（一）“要得到不大于某个自然数N的所有素数，只要在2---N中将不大于√N的素数的倍数全部划去即可”。

（二）将上面的内容等价转换：“如果N是合数，则它有一个因子d满足1<d≤√N”。（《基础数论》13页，U杜德利著，上海科技出版社）。.

（三）再将（二）的内容等价转换：“若自然数N不能被不大于(根号)√N的任何素数整除，则N是一个素数”。见（代数学辞典[上海教育出版社]1985年。屉部贞世朗编。259页）。