海涅定理

Heine定理

lim[x->a]f(x)=b存在的充要条件是:对属于函数f(x)定义域的任意数列，且lim[n->∞]an = a，an不恒等于a，有lim[n->∞]f(an)=b。

海涅定理是沟通函数极限和数列极限之间的桥梁。根据海涅定理，求函数极限则可化为求数列极限，同样求数列极限也可转化为求函数极限。因此，函数极限的所有性 质都可用数列极限的有关性质来加以证明。根据海涅定理的必要重要条件还可以判断函数极限是否存在。所以在求数列或函数极限时，海涅定理起着重要的作用。 海涅定理是德国数学家海涅（Heine）给出的，应用海涅定理人们可把函数极限问题转化（归结）成数列问题，因而人们又称它为归结原则。

分析充分性的证法:只须证明,若对任意数列,且,,有,则.因为在已知条件中,具有这种性质的数列是任意的(当然有无限多个),所以从已知条件出发直接证明其结论是困难的.这时可以考虑应用反证法.也就是否定结论,假设,根据极限定义的否定叙述,只要能构造某一个数列

,,,但是,与已知条件相矛盾.于是充分性得到证明.

注1归结原则也可简述为

对任何有

注2虽然数列极限与函数极限是分别独立定义的,但是两者是有联系的.海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系, 从而给数列极限与函数极限之间架起了一座可以互相沟通的桥梁.它指出函数极限可化为数列极限,反之亦然.在极限论中海涅定理处于重要地位.有了海涅定理之后,有关函数极限的定理都可借助已知相应的数列极限的定理予以证明.例如

若, 则.

证 已知,根据海涅定理的必要性,对任意数列,且,,有,.由数列极限的四则运算,对任意数列,且,,有.再根据海涅定理的充分性,由注3 海涅定理除上述重要的理论意义外, 它还为证明某些函数极限不存在提供了行之有效的方法:若可找到一个以为极限的数列,使不存在,或找到两个都以为极限的数列与,使与都存在而不相等,则不存在.

例1证明极限不存在.

函数的图象如图3-4所示,由图象可见,当时,其函数值无限次地在-1与1的范围内振荡,而不趋于任何确定的数.

对于和为四种类型的单侧极限,相应的归结原则可表示为更强的形式.现以这种类型为例阐述如下：

定理3.9 设函数在点的某空心右邻域有定义.的充要条件是：对任何以为极限的递减数列,有.

注5定理3.9充分性的证明可参照第二章第三节例3及定理3.8的证明.例如可取,以保证所找到的数列能递减的趋于.