哥德尔不完备性定理

哥德尔不完备性定理的提出和证明就是为了解决

怀特海上述猜想，它指出：使用层层外延法扩张

形式逻辑体系并不能清除其总和的矛盾！

哥德尔最妙的想法就是把一切逻辑运算视作一种

二进制代码(CODE)，就例如，“与”可对应为1，

“或”可对应为10，“非”可对应为11。但这些

二进制数却被他再转换成小数，如0.1，0.01，

0.11，组合逻辑运算不过是这三种码的组合，也

就是更复杂的小数。

递归：逻辑运算里有一种调用自身的运算，称为

“递归”。递归术语今天是编程算法里最基本的

运算方法之一。递归有两种结局：1.终止于有

限次数的操作；2.无限递归下去，在编程上被

称为死循环。

当逻辑体系按照怀特海的办法延拓到一个新的，

更大的逻辑体系时，旧的逻辑体系中的操作如果

被新的体系调用，就会出现递归，递归有时是无

限次数的(这是允许的，不象计算机运算不允许)，

在此情况下，由二进制代码所代表的逻辑运算将

出现无限循环的小数。

这样，哥德尔就用递归把每一次形式逻辑体系的

外延后的操作，用有限小数和无限循环小数代

表出来，而且他还证明了，这种代表是唯一对应

的，也就是说，每一二进制有限小数或无限循

环小数皆唯一对应于怀特海意义下的无限扩张逻

辑体系下的某一逻辑操作。

二进制与十进制：二进制数与十进制数之间能建

立起唯一对应关系，因之，实轴上0-1的一端(剃

除掉两个端点，0、1)的所有小数都可以由二进

制小数表出，而且，两种进位制里的有限小数和

无限循环小数都对应。

有理数和无理数：任何有限小数和无限不循环小

数都属于0-1之间的有理数。0-1数段的实数除了

全部含于其中的有理数以外，还存在着无理数，

例如2分之2的平方根。如果我们表0-1数段的所

有有理数集合为Ro，表剩下的所有无理数集合为

Io，则可证明：

Ro 对等于 R;

Io 对等于 I

这里的R、I见(一)中例的定义。因此，我们遂有

Ro有可数势，而Io有不可数势。

哥德尔证明了：怀特海意义下的无限延拓形式逻

辑体系的所有逻辑操作所组成的集合与Ro之间能

够建立起1-1的对应关系，也就是说，这两个集

合对等，因此，它们有相同的势。即都具有可数

势。

但是，如果我们把0-1间任意一个无理数对应成

一个逻辑操作，因为它无限不循环，这个操作是

我们不能确定的，但却能有限截断后知道的，我

们就可以理解成不能用确定的逻辑操作去解决的，

或者换个口吻，说成是矛盾。

于是，哥德尔就得出了结论，形式逻辑分析不能

用来解决认识中的所有出现的矛盾，更有甚者，

我们由Io的不可数势的性质看到，这样的矛盾远

多于形式逻辑分析所能解决的数量！

哥德尔定理证明的独到之处，在于用数学反过来

证明逻辑分析问题，前面我们已经看到，数学上

已经确定了的推理本来是可被拆成基本逻辑操作

来推理的。罗素曾有个想法，认为所有数学的推

理都可拆开成基本的逻辑运算去实现，好像是数

学可以变成逻辑学似的，今天的哲学界数学界摈

弃了罗素这个想法，认为这是不可能的。